Um viajante, após um dia de Shopping em Nova York, verificou que entre os itens que comprou 6 são não tributáveis e 10 são tributáveis.
Como todos os itens tinham aproximadamente o mesmo tamanho, ele optou por não declarar nenhum item, mais ainda, os colocou na mesma mala, pensando em dificultar o trabalho dos fiscais aduaneiros, caso ele seja escolhido para ter sua bagagem inspecionada.
Na Alfandega há dois fiscais aduaneiros, Leandro e Leonardo, que adotam diferentes métodos de inspeção.
  • Leandro analisa os itens sem reposição.
  • Leonardo analisa os itens com reposição.
    Em qualquer caso, aplica-se uma multa se é encontrado pelo menos um item tributáveL.
    O viajante foi escothido para ter sua bagagem inspecionada,
    Calcule a probabilidade de que o quarto item extraído por Leonardo seja o primeiro item tributável.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um viajante que comprou 6 itens não tributáveis e 10 tributáveis, totalizando 16 itens na mala. Na alfândega, o fiscal Leonardo inspeciona os itens com reposição, ou seja, cada vez que ele escolhe um item para verificar, ele coloca de volta na mala antes de escolher o próximo. A gente precisa calcular a probabilidade de que o quarto item que o Leonardo verificar seja o primeiro item tributável encontrado.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade geométrica, que lida com eventos que acontecem em uma série de tentativas independentes, onde a gente quer saber a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer na $ n $-ésima tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades individuais de cada tipo de item:
  • Total de itens: 16
  • Itens não tributáveis: 6
  • Itens tributáveis: 10
A probabilidade de o fiscal escolher um item não tributável em uma tentativa é:
P(não tributável) = 616 = 38 ãá
E a probabilidade de escolher um item tributável é:
P(tributável) = 1016 = 58 á

Passo 3

Como o fiscal está inspecionando com reposição, cada escolha é independente. Ou seja, a probabilidade de escolher um item não tributável ou tributável não muda de uma tentativa para outra.
Queremos que o primeiro item tributável seja o quarto escolhido. Isso significa que os três primeiros itens devem ser não tributáveis e o quarto deve ser tributável.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade disso acontecer passo a passo:
  1. Primeira escolha: não tributável
  2. Segunda escolha: não tributável
  3. Terceira escolha: não tributável
  4. Quarta escolha: tributável
A probabilidade conjunta desses eventos é o produto das probabilidades individuais:
P = (38) times (38) times (38) times (58)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
P = (38)^3 times (58) = 27512 times 58 = 1354096

Passo 6

Para ter uma ideia melhor, vamos converter essa fração em porcentagem:
P = 1354096 approx 0,03296 ou 3,296%

Resposta

A probabilidade de que o quarto item extraído por Leonardo seja o primeiro item tributável é de aproximadamente 3,3%.

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