Um viajante, após um dia de Shopping em Nova York, verificou que entre os itens que comprou 6 são não tributáveis e 10 são tributáveis.
Como todos os itens tinham aproximadamente o mesmo tamanho, ele optou por não declarar nenhum item, mais ainda, os colocou na mesma mala, pensando em dificultar o trabalho dos fiscais aduaneiros, caso ele seja escolhido para ter sua bagagem inspecionada.
Na Alfandega há dois fiscais aduaneiros, Leandro e Leonardo, que adotam diferentes métodos de inspeção.
- Leandro analisa os itens sem reposição.
- Leonardo analisa os itens com reposição.
Em qualquer caso, aplica-se uma multa se é encontrado pelo menos um item tributáveL.
O viajante foi escothido para ter sua bagagem inspecionada,
Calcule a probabilidade de que o quarto item extraído por Leonardo seja o primeiro item tributável.
Como todos os itens tinham aproximadamente o mesmo tamanho, ele optou por não declarar nenhum item, mais ainda, os colocou na mesma mala, pensando em dificultar o trabalho dos fiscais aduaneiros, caso ele seja escolhido para ter sua bagagem inspecionada.
Na Alfandega há dois fiscais aduaneiros, Leandro e Leonardo, que adotam diferentes métodos de inspeção.
Em qualquer caso, aplica-se uma multa se é encontrado pelo menos um item tributáveL.
O viajante foi escothido para ter sua bagagem inspecionada,
Calcule a probabilidade de que o quarto item extraído por Leonardo seja o primeiro item tributável.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um viajante que comprou 6 itens não tributáveis e 10 tributáveis, totalizando 16 itens na mala. Na alfândega, o fiscal Leonardo inspeciona os itens com reposição, ou seja, cada vez que ele escolhe um item para verificar, ele coloca de volta na mala antes de escolher o próximo. A gente precisa calcular a probabilidade de que o quarto item que o Leonardo verificar seja o primeiro item tributável encontrado.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade geométrica, que lida com eventos que acontecem em uma série de tentativas independentes, onde a gente quer saber a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer na $ n $-ésima tentativa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as probabilidades individuais de cada tipo de item:
- Total de itens: 16
- Itens não tributáveis: 6
- Itens tributáveis: 10
A probabilidade de o fiscal escolher um item não tributável em uma tentativa é:
E a probabilidade de escolher um item tributável é:
Passo 3
Como o fiscal está inspecionando com reposição, cada escolha é independente. Ou seja, a probabilidade de escolher um item não tributável ou tributável não muda de uma tentativa para outra.
Queremos que o primeiro item tributável seja o quarto escolhido. Isso significa que os três primeiros itens devem ser não tributáveis e o quarto deve ser tributável.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade disso acontecer passo a passo:
- Primeira escolha: não tributável
- Segunda escolha: não tributável
- Terceira escolha: não tributável
- Quarta escolha: tributável
A probabilidade conjunta desses eventos é o produto das probabilidades individuais:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Passo 6
Para ter uma ideia melhor, vamos converter essa fração em porcentagem:
Resposta
A probabilidade de que o quarto item extraído por Leonardo seja o primeiro item tributável é de aproximadamente 3,3%.