( (3^circ) O acréscimo anual na área atingida por certa praga produtora de frutas, pode ser modelado por uma variável aleatória contínua, medidas em hectares ( 1 ha =10.000 m^2 ), com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=l 2 x3, 0
b) Qual a chance da praga atingir uma área entre 2 e 3 hectares nesse ano?

Passo 1

Beleza, o exercício diz que o aumento anual da área atingida por uma praga é uma variável contínua X (em hectares) com densidade
f(x)= 2x3,&0á
A questão (b) pede: “Qual a chance da praga atingir entre 2 e 3 hectares neste ano?”
Conteúdo: probabilidade em variáveis contínuas. Vamos usar a definição de probabilidade como integral da densidade sobre o intervalo desejado.

Passo 2

Em variáveis contínuas, a probabilidade de X cair num intervalo P(a<= X<= b)=integrala^bf(x),dx é
Aqui queremos .

Passo 3

Como o intervalo [2,3] está totalmente na segunda parte da densidade (que vale para f(x)=1-x3, 2<= x<=3 ), usamos
P(2<= X<=3)=integral2^3l(1-x3r),dx
Então

Passo 4

Vamos integrar terminho a terminho:
  1. integral2^3l(1-x3r),dx =[x-x^26]2^3 =l(3-3^26r)-l(2-2^26r)

  2. Logo
Calculemos:
  • Em :
  • Em :
Subtraindo: , que é .

Resposta

A probabilidade de a praga atingir entre 2 e 3 hectares neste ano é
P(2<= X<=3)=16approx0,1667;(16,67%)

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