A vida média de um elemento radioativo é definido como
tau=integralN0^0 t cdot d N(t)integralN0^0 d N(t),
onde N(t) é o número de nuclídeos que ainda não decaíram. É conhecido que N(t)=N0 e^-lambda t caracteriza a lei para o decaimento de nuclídeos radioativos.
determine o valor de tau;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre decaimento radioativo. A questão pede para calcular a vida média de um elemento radioativo, representada por tau. Para isso, vamos usar a fórmula que relaciona a vida média com a quantidade de núcleos que ainda não decaíram, N(t), dada pela lei do decaimento: N(t) = N0 e^-lambda t. A gente vai precisar integrar essa função para encontrar tau.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vida média tau. É o tempo médio que um núcleo radioativo leva para decair. A fórmula fornecida para tau é:
tau = integral0^infty t cdot (-dN(t))integral0^infty (-dN(t))
Note que ajustamos os limites de integração de 0 a infty porque o tempo t vai de 0 ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular o denominador primeiro:
integral0^infty (-dN(t)) = integral0^infty lambda N0 e^-lambda t dt
Aqui, usamos dN(t) = -lambda N0 e^-lambda t dt, derivando N(t).

Passo 4

Resolvendo a integral do denominador:
integral0^infty lambda N0 e^-lambda t dt = lambda N0 [ e^-lambda t-lambda ]0^infty = lambda N0 (0 - (-1lambda)) = lambda N0 (1lambda) = N0

Passo 5

Agora, vamos calcular o numerador:
integral0^infty t cdot (-dN(t)) = integral0^infty t cdot lambda N0 e^-lambda t dt
Isso é uma integral que envolve t e^-lambda t, que podemos resolver por partes.

Passo 6

Para resolver integral t e^-lambda t dt, usamos integração por partes:
Seja u = t então du = dt.
Seja dv = e^-lambda t dt então v = -1lambda e^-lambda t.
Aplicando integração por partes:
integral t e^-lambda t dt = -tlambda e^-lambda t + 1lambda integral e^-lambda t dt = -tlambda e^-lambda t - 1lambda^2 e^-lambda t + C

Passo 7

Aplicando os limites de 0 a infty:
[ -tlambda e^-lambda t - 1lambda^2 e^-lambda t ]0^infty = 0 - (0 - 1lambda^2) = 1lambda^2
Portanto,
integral0^infty t cdot lambda N0 e^-lambda t dt = lambda N0 cdot 1lambda^2 = N0lambda

Resposta

Finalmente, substituindo numerador e denominador na fórmula de tau:
tau = N0lambdaN0 = 1lambda
Então, a vida média tau é igual a 1lambda.

Exercícios relacionados