A vida média de um elemento radioativo é definido como
onde
é o número de nuclídeos que ainda não decaíram. É conhecido que
caracteriza a lei para o decaimento de nuclídeos radioativos.
determine o valor de
;
determine o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre decaimento radioativo. A questão pede para calcular a vida média de um elemento radioativo, representada por
. Para isso, vamos usar a fórmula que relaciona a vida média com a quantidade de núcleos que ainda não decaíram,
, dada pela lei do decaimento:
. A gente vai precisar integrar essa função para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa vida média
. É o tempo médio que um núcleo radioativo leva para decair. A fórmula fornecida para
é:
Note que ajustamos os limites de integração de
a
porque o tempo
vai de
ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular o denominador primeiro:
Aqui, usamos
, derivando
.
Passo 4
Resolvendo a integral do denominador:
Passo 5
Agora, vamos calcular o numerador:
Isso é uma integral que envolve
, que podemos resolver por partes.
Passo 6
Para resolver
, usamos integração por partes:
Seja
então
.
Seja
então
.
Aplicando integração por partes:
Passo 7
Aplicando os limites de
a
:
Portanto,
Resposta
Finalmente, substituindo numerador e denominador na fórmula de
:
Então, a vida média
é igual a
.