A vida útil de uma certa marca de pneus radiais tem distribuição normal com média de 38000 km e desvio padrão de 3000 km .
a) Qual a probabilidade de que um pneu aleatoriamente escolhido dure mais de 45000 km ?
b) Qual a probabilidade de que um pneu aleatoriamente escolhido dure menos que 30000 km ?
c) Um comerciante compra 500 pneus desta marca, desejando revende-los. Destes quantos você espera que dure mais de 40000 km ?
d) Supondo que o fabricante substitua todos os pneus que durarem menos que 25000 km , quantos pneus comprados pelo comerciante do item c, você espera que sejam substituídos?
e) Caso o fabricante deseje substituir no máximo 2 % dos pneus produzidos, qual deve ser a quilometragem de garantia para os pneus?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a vida útil dos pneus é Normal com média μ=38000 km e σ=3000 km.
Conteúdo: Distribuição Normal, padronização (z‐score), uso de tabela ou função de distribuição normal Φ, e valor esperado em amostra.
O que vamos precisar:
  • Calcular z = (x–μ)/σ;
  • Usar Φ(z) para achar probabilidades;
  • Multiplicar probabilidades por 500 para expectativa;
  • Inverter Φ para achar quantil.

Passo 2

Parte (a): P(pneu dura mais que 45000 km).
  1. Padronizo: z = 45000 - 380003000 = 70003000 approx 2,33
  2. Teoria: para variável Normal padrão Z, P(Z>z)=1–Φ(z).
  3. Pelo livro/tabela, Φ(2{,}33)≈0{,}9901, então P(X>45000) = 1 - Phi(2,33) approx 1 - 0,9901 = 0,0099

Passo 3

Parte (b): P(pneu dura menos que 30000 km).
  1. Padronizo: z = 30000 - 380003000 = -80003000 approx -2,67
  2. Teoria: P(X<30000)=Φ(z). Pela tabela, Φ(−2{,}67)≈0{,}0038.

Passo 4

Parte ©: entre 500 pneus, quantos duram mais que 40000 km?
  1. P(X>40000): z = 40000 - 380003000 = 0,67, P(X>40000)=1-Phi(0,67)approx1-0,748 =0,252
  2. Teoria: em n=500, o esperado é n·p ≈500·0{,}252 =126,0 pneus.

Passo 5

Parte (d): quantos serão substituídos (X<25000) entre os 500?
  1. P(X<25000): z = 25000 - 380003000 = -4,33, Phi(-4,33)approx0,000007
  2. Esperado =500·0{,}000007 ≈0,0035 ≈ 0 pneus (praticamente nenhum).

Passo 6

Parte (e): garantia que garanta no máximo 2% de substituições, ou seja P(X<k)=0,02.
  1. Teoria: k = μ + z_{0,02}·σ, onde z_{0,02}=Φ^{-1}(0,02)≈−2{,}05.
  2. Então k = 38000 + (-2,05)times3000 approx 38000 - 6150 = 31850 km

Resposta

a) 0,0099 (0,99%)
b) 0,0038 (0,38%)
c) ≈126 pneus
d) ≈0 pneus
e) ≈31850 km de garantia

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