A vida útil de uma certa marca de pneus radiais tem distribuição normal com média de 38000 km e desvio padrão de 3000 km .
a) Qual a probabilidade de que um pneu aleatoriamente escolhido dure mais de 45000 km ?
b) Qual a probabilidade de que um pneu aleatoriamente escolhido dure menos que 30000 km ?
c) Um comerciante compra 500 pneus desta marca, desejando revende-los. Destes quantos você espera que dure mais de 40000 km ?
d) Supondo que o fabricante substitua todos os pneus que durarem menos que 25000 km , quantos pneus comprados pelo comerciante do item c, você espera que sejam substituídos?
e) Caso o fabricante deseje substituir no máximo
dos pneus produzidos, qual deve ser a quilometragem de garantia para os pneus?
a) Qual a probabilidade de que um pneu aleatoriamente escolhido dure mais de 45000 km ?
b) Qual a probabilidade de que um pneu aleatoriamente escolhido dure menos que 30000 km ?
c) Um comerciante compra 500 pneus desta marca, desejando revende-los. Destes quantos você espera que dure mais de 40000 km ?
d) Supondo que o fabricante substitua todos os pneus que durarem menos que 25000 km , quantos pneus comprados pelo comerciante do item c, você espera que sejam substituídos?
e) Caso o fabricante deseje substituir no máximo
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a vida útil dos pneus é Normal com média μ=38000 km e σ=3000 km.
Conteúdo: Distribuição Normal, padronização (z‐score), uso de tabela ou função de distribuição normal Φ, e valor esperado em amostra.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Distribuição Normal, padronização (z‐score), uso de tabela ou função de distribuição normal Φ, e valor esperado em amostra.
O que vamos precisar:
- Calcular z = (x–μ)/σ;
- Usar Φ(z) para achar probabilidades;
- Multiplicar probabilidades por 500 para expectativa;
- Inverter Φ para achar quantil.
Passo 2
Parte (a): P(pneu dura mais que 45000 km).
- Padronizo:
- Teoria: para variável Normal padrão Z, P(Z>z)=1–Φ(z).
- Pelo livro/tabela, Φ(2{,}33)≈0{,}9901, então
Passo 3
Parte (b): P(pneu dura menos que 30000 km).
- Padronizo:
- Teoria: P(X<30000)=Φ(z). Pela tabela, Φ(−2{,}67)≈0{,}0038.
Passo 4
Parte ©: entre 500 pneus, quantos duram mais que 40000 km?
- P(X>40000):
- Teoria: em n=500, o esperado é n·p ≈500·0{,}252 =126,0 pneus.
Passo 5
Parte (d): quantos serão substituídos (X<25000) entre os 500?
- P(X<25000):
- Esperado =500·0{,}000007 ≈0,0035 ≈ 0 pneus (praticamente nenhum).
Passo 6
Parte (e): garantia que garanta no máximo 2% de substituições, ou seja P(X<k)=0,02.
- Teoria: k = μ + z_{0,02}·σ, onde z_{0,02}=Φ^{-1}(0,02)≈−2{,}05.
- Então
Resposta
a) 0,0099 (0,99%)
b) 0,0038 (0,38%)
c) ≈126 pneus
d) ≈0 pneus
e) ≈31850 km de garantia
b) 0,0038 (0,38%)
c) ≈126 pneus
d) ≈0 pneus
e) ≈31850 km de garantia