Descreva a velocidade e aceleração no Movimento Circular Uniforme (MCU).

Passo 1

O que o enunciado pede: descrever a velocidade e a aceleração no movimento circular uniforme (MCU).\n
Informações relevantes que temos (implícitas no pedido):\n
  • O objeto descreve uma trajetória circular de raio \,r (constante).\n
  • A magnitude da velocidade linear é constante (por isso é “uniforme”); em termos angulares, \theta(t) varia linearmente no tempo, com velocidade angular constante \,\omega.\n
  • Podemos usar duas formas equivalentes para representar a posição: coordenadas cartesianas (x,y) ou vetores em coordenadas polares unitárias \hat r e \hat\theta.\n

Passo 2

Escrever a posição do ponto na circunferência em coordenadas cartesianas (ajuda a derivar):\n
\vec r(t) = r\cos\big(\theta(t)\big)\,\hat\imath + r\sin\big(\theta(t)\big)\,\hat\jmath
Expliquei as variáveis: \,r é o raio (constante), \theta(t) é o ângulo polar medido a partir do eixo x. No MCU temos \theta(t)=\omega t + \theta_0, onde \omega é a constante velocidade angular e \theta_0 é a fase inicial.

Passo 3

Definição útil e relação entre grandezas:\n
  • Velocidade angular: \displaystyle \omega \equiv \dot\theta(t). No MCU \dot\theta(t)=\omega (constante).\n
  • Velocidade linear (módulo): \displaystyle v = r\,\omega.\n
    Por que isso? se \theta aumenta a uma taxa \omega (rad/s), em uma volta o arco percorrido por unidade de tempo é r vezes essa taxa, então o comprimento percorrido por segundo (velocidade linear) é r\omega.

Passo 4

Derivando a posição para obter a velocidade (passo a passo com regra da cadeia):\n
Partimos de \displaystyle \vec r(t)=r\cos\theta(t)\,\hat\imath + r\sin\theta(t)\,\hat\jmath.\n
Derivando componente a componente:\n
\vec v(t)=\dot{\vec r}(t) = -r\dot\theta(t)\sin\big(\theta(t)\big)\,\hat\imath + r\dot\theta(t)\cos\big(\theta(t)\big)\,\hat\jmath.
Fatorando \dot\theta e reconhecendo um vetor tangente, escrevemos (forma mais elegante)\n
\vec v(t)=r\dot\theta(t)\,\hat\theta(t).
Aqui \hat\theta(t) é o versor tangente à circunferência no ponto, perpendicular a \hat r(t). Magnitude:\n
|\vec v|=r|\dot\theta|=r\omega,
ou seja \displaystyle v=r\omega. Em palavras: a velocidade é tangencial (direção perpendicular ao raio) e seu módulo é constante.

Passo 5

Explicar os vetores unitários polares e suas derivadas (essencial para a aceleração):\n
Definição em função de \theta:\n
\hat r(t)=\cos\theta(t)\,\hat\imath+\sin\theta(t)\,\hat\jmath,\qquad \hat\theta(t)=-\sin\theta(t)\,\hat\imath+\cos\theta(t)\,\hat\jmath.
Derivando no tempo (usar regra da cadeia, \dot\theta=\dfrac{d\theta}{dt}):\n
\dot{\hat r}(t)=\dot\theta(t)\,\hat\theta(t),\qquad \dot{\hat\theta}(t)=-\dot\theta(t)\,\hat r(t).
Intuição: quando \hat r gira com \theta, sua taxa de variação aponta na direção tangencial; quando \hat\theta gira, sua variação aponta radial no sentido oposto.

Passo 6

Derivar a velocidade para obter a aceleração (usando produto e as derivadas dos versores):\n
Partimos da forma \displaystyle \vec v(t)=r\dot\theta(t)\,\hat\theta(t) e aplicamos a derivada:\n
\vec a(t)=\dot{\vec v}(t)=r\ddot\theta(t)\,\hat\theta(t)+r\dot\theta(t)\,\dot{\hat\theta}(t).
Substituindo \dot{\hat\theta}(t)=-\dot\theta(t)\,\hat r(t) (Passo 5):\n
\vec a(t)=r\ddot\theta(t)\,\hat\theta(t)-r\big(\dot\theta(t)\big)^2\,\hat r(t).
Esta é a forma geral em coordenadas polares para r constante. Em MCU, por definição, \dot\theta(t)=\omega constante, logo \ddot\theta(t)=0. Assim a componente tangencial some e sobra apenas a componente radial:\n
\vec a(t)=-r\omega^2\,\hat r(t).
Significado: a aceleração aponta radialmente para o centro (sinal negativo em \hat r) — essa é a aceleração centrípeta — e não há componente tangencial (então o módulo da velocidade permanece constante).

Passo 7

Expressões equivalentes e relações úteis (resumo prático):\n
Vetorialmente:\n
\vec v(t)=r\omega\,\hat\theta(t),\qquad \vec a(t)=-r\omega^2\,\hat r(t).
Em termos dos módulos:\n
|\vec v|=r\omega,\qquad |\vec a|=r\omega^2=\frac{v^2}{r}.
Explicação das igualdades: r\omega^2 = (r\omega)^2/r = v^2/r.\n
Unidades: \omega em \mathrm{rad/s}, v em \mathrm{m/s}, a em \mathrm{m/s^2}.\n

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para fixar):\n
Suponha \,r=2\\ \mathrm{m} e período T=4\\ \mathrm{s}. Então\n
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\\ \mathrm{rad/s}.
Velocidade linear:\n
v=r\omega=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 3{,}14\\ \mathrm{m/s}.
Aceleração centrípeta:\n
a=r\omega^2=2\left(\frac{\pi}{2}\right)^2=\frac{\pi^2}{2}\\ \mathrm{m/s^2}\approx 4{,}93\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretação: o móvel tem velocidade constante em módulo (cerca de 3{,}14\\ \mathrm{m/s}) sempre tangente; a aceleração, de módulo cerca de 4{,}93\\ \mathrm{m/s^2}, aponta para o centro.

Passo 9

Dicas para decorar e usar na prova (jeito prático):\n
  • Lembre: em MCU não há aceleração tangencial (porque o módulo da velocidade é constante).\n
  • Aceleração sempre “puxa” para o centro: \vec a é centrípeta e vale \displaystyle -\frac{v^2}{r}\,\hat r ou \displaystyle -r\omega^2\,\hat r.\n
  • Velocidade é sempre tangente: \vec v=r\omega\,\hat\theta.\n
  • Se alguém te der \omega e r, calcule v=r\omega; se te der v e r, calcule a=v^2/r.\n
    Força final de ânimo: você consegue — decorar essas 3 fórmulas principais e entender de onde vêm (derivando \vec r) já resolve a maioria das provas sobre MCU.

Resposta

\displaystyle \vec v(t)=r\omega\,\hat\theta(t) e |\vec v|=r\omega.\n
\displaystyle \vec a(t)=-r\omega^2\,\hat r(t) e |\vec a|=r\omega^2=\dfrac{v^2}{r}.

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