Uma viga uniforme (peso W=m g, comprimento 4 a ) repousa sobre um canto no ponto A e sobre uma parede lisa no ponto B. Determine o ângulo phi para que a viga fique em equilíbrio estático. Deixe claro a sua linha de pensamento ao resolver o problema. A resposta não vale nada sem o procedimento.

Passo 1

Então, o enunciado diz: temos uma viga homogênea de comprimento e peso . Ela encosta num canto liso no ponto (ou seja, num “canto” formado por duas superfícies perpendiculares, piso e parede, ambas sem atrito) e também encosta numa parede lisa no ponto . A gente quer achar o ângulo que a viga faz com o piso para ficar em equilíbrio estático.
Conteúdo envolvido: equilíbrio de corpo rígido (somatório de forças e momento nulo). Precisamos usar
  1. decomposição das forças de reação em (que vai ao longo da bissetriz de , isto é, em relação ao piso) e reação em (horizontal),
  2. , e .

Passo 2

Desenhando e identificando as forças:
  • No ponto , como é um canto liso, só aparece uma reação que é normal às duas faces simultaneamente. Num canto de , essa normal fica na bissetriz, formando com o piso (e também com a parede).
  • No ponto , a parede lisa exerce apenas uma força normal horizontal , empurrando a viga para a esquerda.
  • O peso age no centro da viga, a de , vertical para baixo.

Passo 3

Equilíbrio nas direções horizontal e vertical:
  1. Soma das forças em +RAcos45^circ - RB = 0 Longrightarrow RB = RA,cos45^circ = 0: +RAsin45^circ - m,g = 0 Longrightarrow RAsin45^circ = m,g Longrightarrow RA = m,gsin45^circ = m,gtfracraiz22 = raiz2,m,g
  2. Soma das forças em RB = RAcos45^circ = (raiz2,m,g),raiz22 = m,g = 0: Logo,

Passo 4

Equilíbrio de momentos em torno de RB,(4asinphi);-;m,g,(2acosphi);=;0 :
  • O momento de m,g,(4asinphi);=;m,g,(2acosphi) Longrightarrow 4sinphi = 2cosphi Longrightarrow 2sinphi = cosphi Longrightarrow tanphi = tfrac12 em é zero (passa em ).
  • O peso gera um momento (tende a girar no sentido horário se for agudo). O braço horizontal dele é a projeção do centro da viga em relação a :
    horizontal = .
    Momento do peso: , sentido horário.
  • A força atua horizontal num ponto a uma altura acima de , gerando momento no sentido anti-horário:
    .
Equilíbrio de momentos ( , tomando sentido anti-horário como positivo):
Substituindo :

Resposta

boxedphi = arctan!l(tfrac12r)

Exercícios relacionados