Vigas cilíndricas de madeira são tratadas com pentaclorofenol (PCF) à uma concentração de 30.000 ppm para torná-las impermeáveis, antes de serem enterradas no solo há 1,3 \mathrm{~m} de profundidade. Três anos após a instalação das vigas, o solo localizado há 45 cm de uma das vigas possui 5.000 ppm de PCF. Qual a velocidade de transferência de massa (kg/s) do PCP para o solo, se a difusividade mássica do PCF no solo e a massa específica do solo forem, respectivamente 9,996 \times 10^{-13} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} e 2.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ? O diâmetro das vigas é 45 cm . Resposta: 2,04 \times 10^{-14} \mathrm{~kg} / \mathrm{s}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos vigas cilíndricas de madeira com diâmetro de 0,45\\ \mathrm{m} enterradas a 1,3\\ \mathrm{m} de profundidade. O PCF foi aplicado nas vigas a 30\,000 ppm e, após três anos, o solo a 0,45\\ \mathrm{m} da viga apresenta 5\,000 ppm. A difusividade mássica no solo é D=9{,}996\times10^{-13}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} e a massa específica do solo é \rho_s=2\,000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3. Vamos calcular a vazão mássica \dot{m} de PCF do cilindro para o solo usando a Lei de Fick em estado quase-estacionário.

Passo 2

Primeiro, convertendo unidades e calculando concentrações em massa por volume de solo.
A difusividade em \mathrm{m}^2/\mathrm{s} é
D = 9{,}996\times10^{-13}\\ \frac{\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}} =9{,}996\times10^{-13}\times10^{-4}\\ \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}} =9{,}996\times10^{-17}\\ \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}.
A espessura do caminho de difusão é \Delta x=0,45\\ \mathrm{m}.
As concentrações em ppm viram frações mássicas \omega e, multiplicando por \rho_s, obtemos concentrações em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3:
\omega_s=0{,}03\quad\Rightarrow\quad C_s=\omega_s\,\rho_s=0{,}03\times2\,000=60\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,
\omega_x=0{,}005\quad\Rightarrow\quad C_x=\omega_x\,\rho_s=0{,}005\times2\,000=10\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.

Passo 3

Aplicando a Lei de Fick unidimensional radial em aproximação linear do gradiente,
J = -D\frac{\Delta C}{\Delta x} = D\,\frac{C_s - C_x}{\Delta x} =9{,}996\times10^{-17}\,\frac{60 - 10}{0,45} \\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}} \approx1{,}11\times10^{-14}\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}}.

Passo 4

A área de transferência é a área lateral do cilindro enterrado, de comprimento L=1{,}3\\ \mathrm{m} e diâmetro d=0,45\\ \mathrm{m}:
A = \pi\,d\,L =\pi\times0{,}45\times1{,}3 \approx1{,}837\\ \mathrm{m}^2.
Logo, a vazão mássica de PCF é
\dot m = J\,A \approx1{,}11\times10^{-14}\times1{,}837 \approx2{,}04\times10^{-14}\\ \mathrm{kg/s}.

Resposta

\displaystyle 2{,}04\times10^{-14}\\ \mathrm{kg/s}

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