Vimos que, dado um conjunto de vetores de um espaço vetorial V, o espaço gerado por eles é um subespaço de V. A recíproca é verdadeira. Isto é, todo subespaço é gerado por um conjunto de vetores. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços do espaço V indicado.
S=(lla & b c & d): a+2 d=0 e c=3 b V=M2 times 2(R)

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
S = a & b c & din M2times2(R) mid a + 2d = 0,; c = 3b
O conteúdo é parametrização de um subespaço usando as condições impostas pelas equações, para depois escrever os elementos como combinações lineares de vetores (matrizes) geradores.

Passo 2

Das restrições temos
a + 2d = 0 Longrightarrow a = -2d,
c = 3b
Portanto cada matriz em S pode ser descrita por dois parâmetros livres, b e d.

Passo 3

Substituindo a = -2d e c = 3b, o elemento genérico de S é
a & b c & d = -2d & b 3b & d

Passo 4

Agora escrevemos essa matriz como combinação linear de duas matrizes fixas:
-2d & b 3b & d = b 0 & 1 3 & 0 + d -2 & 0 0 & 1
Isso mostra que todo elemento de S está em spanl0 & 1 3 & 0,,-2 & 0 0 & 1r.

Resposta

Um conjunto de geradores de S é
0 & 1 3 & 0, -2 & 0 0 & 1

Exercícios relacionados