Vimos que, dado um conjunto de vetores de um espaço vetorial V, o espaço gerado por eles é um subespaço de V. A recíproca é verdadeira. Isto é, todo subespaço é gerado por um conjunto de vetores. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços do espaço V indicado.
S=a+b t+a t^2: a, b in R V=P2(t)

Passo 1

O enunciado define
V=P2(t)
e o subespaço
S = ,a + b,t + a,t^2 : a,b in R
Precisamos achar um conjunto de vetores em V cujo span seja exatamente S.

Passo 2

Seja um polinômio genérico em S. Escrevemos
p(t) = a + b,t + a,t^2,
com a,binR.

Passo 3

Fatorando os coeficientes, obtemos
p(t) = a,(1 + t^2) + b,t
Isso mostra que todo elemento de S é combinação linear de 1+t^2 e t. Logo
S = span,1 + t^2,,t

Resposta

,1 + t^2,,t é um conjunto de geradores de S.

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