Vimos que, dado um conjunto de vetores de um espaço vetorial V, o espaço gerado por eles é um subespaço de V. A recíproca é verdadeira. Isto é, todo subespaço é gerado por um conjunto de vetores. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços do espaço V indicado.
Passo 1
O enunciado define
e o subespaço
e o subespaço
Precisamos achar um conjunto de vetores em
cujo span seja exatamente
.
Passo 2
Seja um polinômio genérico em
. Escrevemos
com
.
Passo 3
Fatorando os coeficientes, obtemos
Isso mostra que todo elemento de
é combinação linear de
e
. Logo