Vimos em sala de aula que a 2^circ lei de Newton para uma partícula com carga q em um campo magnético B=B0 z resulta em:
d Vxd t & =q B0m Vy d Vyd t & =-q B0m Vx
A solução para as velocidades é
& Vx(t)=A cos (omega t)+B sin (omega t), & Vy(t)=A^prime cos (omega t)+B^prime sin (omega t), & omega=q B0 / m
Determine as constantes de integração impondo as condições iniciais Vx(0)=V0 e Vy(0)=0 e obtenha:
Vx(t)=V0 cos (omega t), Vy=-V0 sin (omega t)
A partir destes resultados para a velocidade, mostre que a posição (no plano xy) em função do tempo é:
& x(t)=V0omega sin (omega t) & y(t)=V0omega(cos (omega t)-1)
onde assumimos que x(0)=0 e y(0)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá as componentes da velocidade
x'(t)=Vx(t)=V0cos(omega t), y'(t)=Vy(t)=-V0sin(omega t),
com omega=qB0/m e as condições iniciais x(0)=0, y(0)=0. Para obter x(t) e y(t) basta integrar essas expressões em t.

Passo 2

Integramos x'(t) de 0 a t:
x(t)=integral0^tV0cos(omega t'),dt' =V0l[sin(omega t')omegar]0^t =V0omegasin(omega t)

Passo 3

Integramos y'(t) de 0 a t:
y(t)=integral0^t(-V0sin(omega t')),dt' =-V0l[-cos(omega t')omegar]0^t =V0omegal(cos(omega t)-1r)

Resposta

x(t)=V0omegasin(omega t), y(t)=V0omegal(cos(omega t)-1r)

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