Como vimos, o vetor tangente é dado pela derivada da curva
. Assim, o vetor normal a
no ponto
é dado por
. Sabendo disso, determine se as curvas dadas têm reta normal no ponto
para
dado abaixo. Se sim, determine-as:
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede para, no ponto
com
, verificar se existe reta normal à curva e, em caso afirmativo, determiná‑la. Informações dadas que usaremos:
e
.
A definição que vamos usar (fornecida no enunciado): o vetor tangente é e um vetor normal pode ser tomado como
.
A definição que vamos usar (fornecida no enunciado): o vetor tangente é
Passo 2
Vamos calcular as derivadas das componentes da curva. Escrevendo as componentes como
e
, as derivadas são:
Explicação rápida: derivada de
é
, então de
fica
. Derivada de
é
, então de
fica
.
Passo 3
Agora avaliamos as derivadas em
. Usamos os valores conhecidos
e
. Portanto:
O vetor tangente em
é, então,
.
Passo 4
Verificamos se o vetor tangente é nulo. Aqui
, ou seja, não é o vetor nulo. Quando o vetor tangente não é o vetor nulo existe uma reta normal bem definida (precisamente a reta que passa pelo ponto e cuja direção é ortogonal ao vetor tangente).
Passo 5
Construímos um vetor normal usando a fórmula dada: um vetor normal é
. Substituindo os valores:
Comentário didático: o porquê dessa fórmula é que se
é tangente então
é ortogonal, pois o produto escalar
.
Passo 6
Precisamos também do ponto da curva em
. Calculamos:
Logo o ponto é
.
Passo 7
Agora escrevemos a equação da reta normal que passa por
com direção
. Em forma paramétrica:
ou seja
Em forma cartesiana explícita, isso é simplesmente a reta vertical
Observação: a reta é vertical porque o vetor normal tem componente
igual a zero e componente
distinta de zero.
Resposta
Sim.