Como vimos, o vetor tangente é dado pela derivada da curva \gamma^{\prime}\left(t_{0}\right)=\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right)\right). Assim, o vetor normal a \gamma no ponto t_{0} é dado por \left(-y^{\prime}\left(t_{0}\right), x^{\prime}\left(t_{0}\right)\right). Sabendo disso, determine se as curvas dadas têm reta normal no ponto \gamma\left(t_{0}\right) para t_{0} dado abaixo. Se sim, determine-as:
\gamma(t)=(1-\operatorname{sen}(t), 1-\cos (t)), t_{0}=\pi

Passo 1

O enunciado dá a curva \gamma(t)=(1-\sin(t),\,1-\cos(t)) e pede para, no ponto \gamma(t_{0}) com t_{0}=\pi, verificar se existe reta normal à curva e, em caso afirmativo, determiná‑la. Informações dadas que usaremos:
\gamma(t)=(1-\sin(t),\,1-\cos(t)) e t_{0}=\pi.
A definição que vamos usar (fornecida no enunciado): o vetor tangente é \gamma'(t_{0})=(x'(t_{0}),y'(t_{0})) e um vetor normal pode ser tomado como (-y'(t_{0}),x'(t_{0})).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas das componentes da curva. Escrevendo as componentes como x(t)=1-\sin(t) e y(t)=1-\cos(t), as derivadas são:
x'(t) = -\cos(t)
y'(t) = \sin(t)
Explicação rápida: derivada de \sin(t) é \cos(t), então de -\sin(t) fica -\cos(t). Derivada de \cos(t) é -\sin(t), então de -\cos(t) fica \sin(t).

Passo 3

Agora avaliamos as derivadas em t_{0}=\pi. Usamos os valores conhecidos \cos(\pi)=-1 e \sin(\pi)=0. Portanto:
x'(\pi) = -\cos(\pi) = -(-1) = 1
y'(\pi) = \sin(\pi) = 0
O vetor tangente em t=\pi é, então, \gamma'(\pi)=(1,0).

Passo 4

Verificamos se o vetor tangente é nulo. Aqui \gamma'(\pi)=(1,0)\neq(0,0), ou seja, não é o vetor nulo. Quando o vetor tangente não é o vetor nulo existe uma reta normal bem definida (precisamente a reta que passa pelo ponto e cuja direção é ortogonal ao vetor tangente).

Passo 5

Construímos um vetor normal usando a fórmula dada: um vetor normal é (-y'(\pi),x'(\pi)). Substituindo os valores:
(-y'(\pi),x'(\pi)) = ( -0,\,1 ) = (0,1).
Comentário didático: o porquê dessa fórmula é que se (a,b) é tangente então (-b,a) é ortogonal, pois o produto escalar (a,b)\cdot(-b,a) = -ab+ab = 0.

Passo 6

Precisamos também do ponto da curva em t=\pi. Calculamos:
x(\pi)=1-\sin(\pi)=1-0=1
y(\pi)=1-\cos(\pi)=1-(-1)=2
Logo o ponto é \gamma(\pi)=(1,2).

Passo 7

Agora escrevemos a equação da reta normal que passa por (1,2) com direção (0,1). Em forma paramétrica:
(x,y)=(1,2)+s(0,1),\quad s\in\mathbb{R},
ou seja
x=1,\qquad y=2+s.
Em forma cartesiana explícita, isso é simplesmente a reta vertical
x=1.
Observação: a reta é vertical porque o vetor normal tem componente x igual a zero e componente y distinta de zero.

Resposta

Sim. (x,y)=(1,2)+s(0,1),\\ s\in\mathbb{R}
x=1

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