1. (Samuel) Definimos um operador de projeção como sendo aquele P : V \rightarrow V tal que P^{2}=P em que P^{2}=P \circ P. Calcule os autovalores de uma projeção.

Passo 1

O enunciado dá um operador de projeção P\colon V\to V satisfazendo
P^{2}=P.
Queremos achar todos os autovalores \lambda tais que exista vetor não-nulo v com
P\,v=\lambda\,v.
O conteúdo aqui é cálculo de autovalores de um operador linear usando a definição de autovetor e autovalor.

Passo 2

Seja v\neq 0 um autovetor de P associado a \lambda. Pela definição de autovalor, temos
P\,v=\lambda\,v.

Passo 3

Aplicando P novamente em v, obtemos
P^{2}v \;=\; P\bigl(P\,v\bigr) =P\bigl(\lambda\,v\bigr) =\lambda\,P\,v =\lambda^{2}v.
Mas como P^{2}=P, isso implica
\lambda^{2}v \;=\;\lambda\,v.

Passo 4

Subtraindo os dois lados, chega-se a
(\lambda^{2}-\lambda)\,v=0.
Como v\neq 0, o fator \lambda^{2}-\lambda deve ser zero, ou seja
\lambda(\lambda-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=0\quad\text{ou}\quad\lambda=1.

Resposta

Os autovalores de uma projeção são \lambda=0 e \lambda=1.

Exercícios relacionados