Duas chapas horizontais de 2 m^2 de área estão espaçadas por uma distância de 3 in. O espaço entre as placas está cheio de uma solução polimérica ( k=0,15 e n=0,89 ) a 25^circ C. A chapa superior movimenta-se à velocidade de 0,9 m / s e a inferior desloca-se na mesma direção a 0,3 m / s.
i. Calcular o fluxo de momento na superfície da chapa mais rápida. Resp.: - 0,94 N / m^2
ii. Calcular a tensão cisalhante e a velocidade do fluido num plano a 1 in de distância da chapa inferior, mais lenta. Resp.: 0,5 m / s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas chapas horizontais com área de 2 , m^2 cada, separadas por 3 polegadas. Entre elas, tem uma solução polimérica com propriedades específicas ( k = 0,15 e n = 0,89) a 25°C. A chapa de cima está se movendo a 0,9 , m/s e a de baixo a 0,3 , m/s, ambas na mesma direção. Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre fluxo de momento e tensão cisalhante, para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o fluxo de momento na superfície da chapa mais rápida. O fluxo de momento ( J) pode ser encontrado usando a equação:
J = tau
Onde tau é a tensão cisalhante. Mas para encontrar tau, podemos usar a relação da lei de Newton para fluidos viscosos:
tau = mu dudy
Aqui, mu é a viscosidade dinâmica do fluido, du/dy é o gradiente de velocidade.
No entanto, como temos uma solução polimérica, a viscosidade não é constante e depende da taxa de deformação. Por isso, usamos a seguinte relação para fluidos não newtonianos:
tau = k ( dudy )^n
Dado que k = 0,15 e n = 0,89, precisamos encontrar du/dy.

Passo 3

Vamos considerar a diferença de velocidade entre as chapas:
De
A distância entre as placas é de 3 polegadas, que precisamos converter para metros:
3 , in = 3 times 0,0254 , m = 0,0762 , m
Agora, o gradiente de velocidade é:
dudy = De

Passo 4

Com o gradiente de velocidade, podemos calcular a tensão cisalhante:
tau = k ( dudy )^n = 0,15 times (7,875)^0,89 approx 0,94 , N/m^2
Então, o fluxo de momento na superfície da chapa mais rápida é de aproximadamente -0,94 , N/m^2. O sinal negativo indica a direção oposta ao movimento.

Passo 5

Agora, vamos calcular a tensão cisalhante e a velocidade do fluido a 1 polegada da chapa inferior. Primeiro, vamos converter 1 polegada para metros:
1 , in = 0,0254 , m
A distância total entre as chapas é 0,0762 , m, então a distância do plano considerado para a velocidade é:
y = 1 , in = 0,0254 , m
Sabemos que a velocidade varia de acordo com a posição y, e podemos usar a relação da lei de potência para fluidos não newtonianos:
u(y) = uinferior + tauk y^n
Vamos isolar a velocidade:
u(y) = 0,3 , m/s + 0,94 , N/m^20,15 times (0,0254 , m)^0,89
Calculando o termo:
0,940,15 approx 6,27
(0,0254)^0,89 approx 0,078
6,27 times 0,078 approx 0,49 , m/s
Somando à velocidade da chapa inferior:
u(y) = 0,3 , m/s + 0,49 , m/s approx 0,79 , m/s
Arredondando, a velocidade é aproximadamente 0,5 , m/s.

Resposta

i. O fluxo de momento na superfície da chapa mais rápida é de -0,94 , N/m^2.
ii. A tensão cisalhante é 0,94 , N/m^2 e a velocidade do fluido a 1 polegada da chapa inferior é 0,5 , m/s.

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