3.20 Calcule o valor futuro (no ano 11) das seguintes receitas e despesas, considerando uma taxa de juros de 8% ao ano.
Ano
Receita, $
Despesas, $
0
12.000
3.000
800
200
900
200
| Ano | Receita, $ | Despesas, $ |
| 0 | 12.000 | 3.000 |
|
|
800 | 200 |
|
|
900 | 200 |
Passo 1
O enunciado pede: calcular o valor futuro no ano 11 das receitas e despesas abaixo, com taxa de juros de 8% ao ano:
Informações relevantes fornecidas:
- Taxa de juros anual:
. - Há um fluxo inicial no ano
: receita e despesa . - Fluxos uniformes de anos
a : receita por ano e despesa por ano. - Fluxos uniformes de anos
a : receita por ano e despesa por ano. - Nosso objetivo: trazer todos esses fluxos ao valor futuro em
(ano 11) usando capitalização composta.
Passo 2
Estratégia (curtinha, pra gente não se perder): vou combinar receitas e despesas ano a ano quando isso for conveniente (ou seja calcular valores líquidos por intervalo) e usar duas fórmulas fundamentais:
- Valor futuro de um pagamento único:
onde
é o valor no tempo inicial,
é a taxa por período e
é o número de períodos até o momento desejado. Vou usar isso para o fluxo no ano
.
- Valor futuro de uma série uniforme (anuidades) com pagamentos
ocorrendo ao final de cada período, dos anos a :
Aqui
é o valor acumulado imediatamente após o último pagamento (no final do ano
). Vou usar essa fórmula para as séries
e
, tomando cuidado com o deslocamento no tempo quando for necessário.
Passo 3
Primeiro simplificamos somando receita e despesa quando possível:
- No ano
: líquido . - Nos anos
a : líquido anual por ano ( pagamentos). - Nos anos
a : líquido anual por ano ( pagamentos).
Assim precisamos calcular o valor futuro em
de:
- Uma quantia única de
em . - Uma anuidade de
nos anos a , acumulada até . - Uma anuidade de
nos anos a , acumulada até .
Passo 4
Calculemos as potências de
que vamos usar (faça isso passo a passo na prova, multiplicando por
):
(essas potências podem ser obtidas multiplicando sucessivamente por
: útil mostrar na prova para quem não usa calculadora).
Passo 5
Valor futuro em
da quantia única do ano
:
Usando com
,
:
Usando
Substituindo a potência:
Passo 6
Valor futuro em
da anuidade líquida
paga nos anos
a
.
Forma direta (mais prática): acumular os pagamentos
a
até
é o mesmo que:
Uma identidade útil para simplificar (multiplicando) é:
Então usamos:
Substituindo valores:
Dividindo por
:
Multiplicando por
:
Passo 7
Valor futuro em
da anuidade líquida
paga nos anos
a
.
Aqui são
pagamentos (anos
); como o último pagamento já ocorre em
, a fórmula padrão dá diretamente o valor em
:
Calculamos:
Passo 8
Agora somamos todas as partes (todas em valor futuro em
):
Substituindo os números que calculamos:
Somando:
Arredondando para centavos (duas casas decimais), temos
. Bora lá — deu trabalho, mas tá certinho!