3.20 Calcule o valor futuro (no ano 11) das seguintes receitas e despesas, considerando uma taxa de juros de 8% ao ano.
Ano Receita, $ Despesas, $
0 12.000 3.000
1-6 800 200
7-11 900 200

Passo 1

O enunciado pede: calcular o valor futuro no ano 11 das receitas e despesas abaixo, com taxa de juros de 8% ao ano:
\begin{array}{ccc} \text{Ano} & \text{Receita, \$} & \text{Despesas, \$} \\\\ 0 & 12.000 & 3.000 \\\\ 1\text{–}6 & 800 & 200 \\\\ 7\text{–}11 & 900 & 200 \end{array}
Informações relevantes fornecidas:
  • Taxa de juros anual: i=0,08.
  • Há um fluxo inicial no ano 0: receita \$12.000 e despesa \$3.000.
  • Fluxos uniformes de anos 1 a 6: receita \$800 por ano e despesa \$200 por ano.
  • Fluxos uniformes de anos 7 a 11: receita \$900 por ano e despesa \$200 por ano.
  • Nosso objetivo: trazer todos esses fluxos ao valor futuro em t=11 (ano 11) usando capitalização composta.

Passo 2

Estratégia (curtinha, pra gente não se perder): vou combinar receitas e despesas ano a ano quando isso for conveniente (ou seja calcular valores líquidos por intervalo) e usar duas fórmulas fundamentais:
  1. Valor futuro de um pagamento único:
\text{FV} = P(1+i)^n
onde P é o valor no tempo inicial, i é a taxa por período e n é o número de períodos até o momento desejado. Vou usar isso para o fluxo no ano 0.
  1. Valor futuro de uma série uniforme (anuidades) com pagamentos A ocorrendo ao final de cada período, dos anos 1 a n:
S_n = A\frac{(1+i)^n-1}{i}
Aqui S_n é o valor acumulado imediatamente após o último pagamento (no final do ano n). Vou usar essa fórmula para as séries 1\text{–}6 e 7\text{–}11, tomando cuidado com o deslocamento no tempo quando for necessário.

Passo 3

Primeiro simplificamos somando receita e despesa quando possível:
  • No ano 0: líquido =12.000-3.000=9.000.
  • Nos anos 1 a 6: líquido anual =800-200=600 por ano ( 6 pagamentos).
  • Nos anos 7 a 11: líquido anual =900-200=700 por ano ( 5 pagamentos).
Assim precisamos calcular o valor futuro em t=11 de:
  • Uma quantia única de \$9.000 em t=0.
  • Uma anuidade de \$600 nos anos 1 a 6, acumulada até t=11.
  • Uma anuidade de \$700 nos anos 7 a 11, acumulada até t=11.

Passo 4

Calculemos as potências de (1+i) que vamos usar (faça isso passo a passo na prova, multiplicando por 1{,}08):
(1{,}08)^5 = 1{,}4693280768,
(1{,}08)^6 = 1{,}586874322944,
(1{,}08)^{11} = 2{,}3316389970546096.
(essas potências podem ser obtidas multiplicando sucessivamente por 1{,}08: útil mostrar na prova para quem não usa calculadora).

Passo 5

Valor futuro em t=11 da quantia única do ano 0:
Usando \text{FV}=P(1+i)^n com P=9.000, n=11:
\text{FV}_{0\to11} = 9.000\,(1{,}08)^{11}.
Substituindo a potência:
\text{FV}_{0\to11} = 9.000 \times 2{,}3316389970546096 = 20.984{,}750973491486.

Passo 6

Valor futuro em t=11 da anuidade líquida \$600 paga nos anos 1 a 6.
Forma direta (mais prática): acumular os pagamentos 1 a 6 até t=11 é o mesmo que:
\text{FV}_{1\text{–}6\to11} = 600\;\frac{(1{,}08)^6-1}{0{,}08}\;(1{,}08)^{5}.
Uma identidade útil para simplificar (multiplicando) é:
\frac{(1{,}08)^6-1}{0{,}08}\,(1{,}08)^{5} = \frac{(1{,}08)^{11}-(1{,}08)^5}{0{,}08}.
Então usamos:
\text{FV}_{1\text{–}6\to11} = 600\;\frac{(1{,}08)^{11}-(1{,}08)^5}{0{,}08}.
Substituindo valores:
(1{,}08)^{11}-(1{,}08)^5 = 2{,}3316389970546096 - 1{,}4693280768 = 0{,}8623109202546096.
Dividindo por 0{,}08:
\frac{0{,}8623109202546096}{0{,}08} = 10{,}77888650318262.
Multiplicando por 600:
\text{FV}_{1\text{–}6\to11} = 600 \times 10{,}77888650318262 = 6.467{,}331901909572.

Passo 7

Valor futuro em t=11 da anuidade líquida \$700 paga nos anos 7 a 11.
Aqui são 5 pagamentos (anos 7,8,9,10,11); como o último pagamento já ocorre em t=11, a fórmula padrão dá diretamente o valor em t=11:
\text{FV}_{7\text{–}11\to11} = 700\;\frac{(1{,}08)^5-1}{0{,}08}.
Calculamos:
(1{,}08)^5-1 = 1{,}4693280768 - 1 = 0{,}4693280768,
\frac{0{,}4693280768}{0{,}08} = 5{,}86660096,
\text{FV}_{7\text{–}11\to11} = 700 \times 5{,}86660096 = 4.106{,}620672.

Passo 8

Agora somamos todas as partes (todas em valor futuro em t=11):
\text{FV}_{\text{total}} = \text{FV}_{0\to11} + \text{FV}_{1\text{–}6\to11} + \text{FV}_{7\text{–}11\to11}.
Substituindo os números que calculamos:
\text{FV}_{\text{total}} = 20.984{,}750973491486 + 6.467{,}331901909572 + 4.106{,}620672.
Somando:
\text{FV}_{\text{total}} = 31.558{,}70354740106.
Arredondando para centavos (duas casas decimais), temos \$31.558,70. Bora lá — deu trabalho, mas tá certinho!

Resposta

\$31.558,70

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