5.4 The velocity components for an incompressible steady flow field are
and
. Determine the z component of velocity for steady and for unsteady flow.
Passo 1
O enunciado dá as componentes de velocidade
e
de um escoamento incompressível:
Pede para determinar a componente
da velocidade,
, nos casos (i) escoamento steady (estacionário) e (ii) escoamento unsteady (não estacionário). Não são fornecidas condições de contorno, então a solução pode conter uma função arbitrária que será fixada por condições adicionais.
Passo 2
Conceito-chave: para um escoamento incompressível a equação da continuidade é a conservação local de volume. Em coordenadas cartesianas isso fica
Aqui
é a taxa de variação da componente
na direção
; análogamente para
e
. Essa equação vale tanto para escoamento steady quanto para unsteady — ela não envolve derivada temporal diretamente; impõe apenas que a divergência do campo de velocidades seja zero.
Passo 3
Vamos calcular
passo a passo. Escrevendo
tratamos
como constante e
como independente de
quando derivamos em relação a
. Então
Expliquei: a derivada de
é
e a derivada de
em relação a
é zero porque
é variável independente.
Passo 4
Agora
. Podemos reescrever
como
Derivando em relação a
(tratando
e
como constantes nesta derivação):
Expliquei: usamos a regra do produto de
por
; como
é constante em relação a
, a derivada é simplesmente
.
Passo 5
Somando as duas parcelas que já temos:
Pela continuidade:
Portanto reduzimos o problema a integrar essa expressão em relação a
.
Passo 6
Integramos em
para obter
. Integração termo a termo:
Como
é independente de
(pois depende só de
), sua integral em
é
. A integral de
em
é
. Ao integrar uma derivada parcial
aparece uma “constante” de integração que, por ser uma primitiva em relação a
, pode depender das outras variáveis (aqui
,
e possivelmente
):
Explico: a função
é qualquer função cuja derivada parcial em
seja zero; ou seja, pode depender de
e
(e, se permitirmos dependência temporal, também de
).
Passo 7
Diferença entre steady e unsteady:
- Para escoamento steady (estacionário) todas as componentes de velocidade não dependem do tempo
. Assim a função arbitrária de integração não pode depender de . Chamando-a de , obtemos:
- Para escoamento unsteady (não estacionário) a continuidade só pede que
não dependa de ; ela pode depender de . Chamando-a de , obtemos:
Observação prática: sem condições de contorno (por exemplo valor de
em uma superfície
ou comportamento no infinito) a função
permanece arbitrária; em muitas aplicações uma escolha simples é
, mas isso precisa ser justificado por condições do problema.
Passo 8
Resumo didático rápido: o procedimento foi (i) aplicar a equação da continuidade para escoamento incompressível, (ii) calcular
e
, (iii) obter
e integrar em
, lembrando que a constante de integração pode depender das demais variáveis. Isso é uma técnica padrão para determinar a terceira componente de velocidade quando duas componentes são conhecidas.