5.4 The velocity components for an incompressible steady flow field are u=A\left(x^{2}+z^{2}\right) and v=B(x y+y z). Determine the z component of velocity for steady and for unsteady flow.

Passo 1

O enunciado dá as componentes de velocidade u e v de um escoamento incompressível:
u = A\left(x^{2}+z^{2}\right),
v = B\left(xy + yz\right).
Pede para determinar a componente z da velocidade, w, nos casos (i) escoamento steady (estacionário) e (ii) escoamento unsteady (não estacionário). Não são fornecidas condições de contorno, então a solução pode conter uma função arbitrária que será fixada por condições adicionais.

Passo 2

Conceito-chave: para um escoamento incompressível a equação da continuidade é a conservação local de volume. Em coordenadas cartesianas isso fica
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0.
Aqui \partial u/\partial x é a taxa de variação da componente u na direção x; análogamente para \partial v/\partial y e \partial w/\partial z. Essa equação vale tanto para escoamento steady quanto para unsteady — ela não envolve derivada temporal diretamente; impõe apenas que a divergência do campo de velocidades seja zero.

Passo 3

Vamos calcular \partial u/\partial x passo a passo. Escrevendo
u = A\left(x^{2}+z^{2}\right),
tratamos A como constante e z como independente de x quando derivamos em relação a x. Então
\frac{\partial u}{\partial x} = A\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}+z^{2}\right) = A\cdot(2x+0)=2A x.
Expliquei: a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de z^{2} em relação a x é zero porque z é variável independente.

Passo 4

Agora \partial v/\partial y. Podemos reescrever v como
v = B(xy + yz)=B\,y(x+z).
Derivando em relação a y (tratando x e z como constantes nesta derivação):
\frac{\partial v}{\partial y} = B\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(y(x+z)\big) = B(x+z).
Expliquei: usamos a regra do produto de y por (x+z); como (x+z) é constante em relação a y, a derivada é simplesmente (x+z).

Passo 5

Somando as duas parcelas que já temos:
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=2A x + B(x+z) = (2A+B)x + B z.
Pela continuidade:
\frac{\partial w}{\partial z} = -\big((2A+B)x + B z\big) = -(2A+B)\,x - B z.
Portanto reduzimos o problema a integrar essa expressão em relação a z.

Passo 6

Integramos em z para obter w. Integração termo a termo:
\int \frac{\partial w}{\partial z}\,dz = w = \int \Big[-(2A+B)x - B z\Big]\,dz.
Como (2A+B)x é independente de z (pois depende só de x), sua integral em z é -(2A+B)x\cdot z. A integral de -B z em z é -\dfrac{B}{2}z^{2}. Ao integrar uma derivada parcial \partial w/\partial z aparece uma “constante” de integração que, por ser uma primitiva em relação a z, pode depender das outras variáveis (aqui x, y e possivelmente t):
w = -(2A+B)\,x\,z - \frac{B}{2} z^{2} + \Phi(x,y,\; \text{(talvez }t\text{)}).
Explico: a função \Phi é qualquer função cuja derivada parcial em z seja zero; ou seja, pode depender de x e y (e, se permitirmos dependência temporal, também de t).

Passo 7

Diferença entre steady e unsteady:
  • Para escoamento steady (estacionário) todas as componentes de velocidade não dependem do tempo t. Assim a função arbitrária de integração não pode depender de t. Chamando-a de F(x,y), obtemos:
w(x,y,z) = -(2A+B)\,x\,z - \frac{B}{2} z^{2} + F(x,y).
  • Para escoamento unsteady (não estacionário) a continuidade só pede que \Phi não dependa de z; ela pode depender de t. Chamando-a de F(x,y,t), obtemos:
w(x,y,z,t) = -(2A+B)\,x\,z - \frac{B}{2} z^{2} + F(x,y,t).
Observação prática: sem condições de contorno (por exemplo valor de w em uma superfície z=0 ou comportamento no infinito) a função F permanece arbitrária; em muitas aplicações uma escolha simples é F\equiv 0, mas isso precisa ser justificado por condições do problema.

Passo 8

Resumo didático rápido: o procedimento foi (i) aplicar a equação da continuidade para escoamento incompressível, (ii) calcular \partial u/\partial x e \partial v/\partial y, (iii) obter \partial w/\partial z e integrar em z, lembrando que a constante de integração pode depender das demais variáveis. Isso é uma técnica padrão para determinar a terceira componente de velocidade quando duas componentes são conhecidas.

Resposta

w_{\text{steady}}(x,y,z) = -(2A+B)\,x\,z - \dfrac{B}{2}z^{2} + F(x,y)\n
w_{\text{unsteady}}(x,y,z,t) = -(2A+B)\,x\,z - \dfrac{B}{2}z^{2} + F(x,y,t)

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