Você arremessa uma bola de baixo para cima do topo de um edificio alto. A bola deixa sua mão à velocidade de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um ponto que coincide com a extremidade superior do para peito do edificio; a seguir, ela passa a se mover em queda livre. Quando a bola volta, ela passa raspando pelo parapeito e continua a queda. Calcule
a altura máxima atingida;

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que nos pedem):
  • A bola é lançada verticalmente para cima a partir do topo do parapeito com velocidade inicial \,v_0 = 15\\ \mathrm{m/s}.
  • Depois do lançamento a bola move-se em queda livre (isto é, só atua a aceleração da gravidade).
  • Não há indicação de resistência do ar, então vamos assumir movimento sob aceleração constante devido à gravidade.
  • A pergunta: calcular a altura máxima atingida pela bola (ou seja, quanto ela sobe acima do ponto de lançamento, o topo do parapeito).

Passo 2

Escolhendo convenções e recordando as equações básicas (aqui eu explico as fórmulas e o significado de cada símbolo).
  • Convenção de sinal: escolho o sentido para cima como positivo.
  • A aceleração da gravidade será \,g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2} dirigida para baixo, então na nossa convenção a aceleração é \,a = -g = -9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • A condição para a altura máxima: no ponto mais alto a velocidade instantânea vertical é zero. Ou seja, se v é a velocidade naquele ponto, então \,v=0.
  • Fórmula cinemática útil (válida para aceleração constante): v^{2} = v_{0}^{2} + 2a\Delta y,
onde:
  • \,v é a velocidade final (aqui no topo será 0),
  • \,v_0 é a velocidade inicial ( 15\\ \mathrm{m/s}),
  • \,a é a aceleração ( -9,8\\ \mathrm{m/s^2}),
  • \,\Delta y é a variação de posição vertical (altura ganha, positiva se subir).
    Essa fórmula é muito prática porque relaciona velocidades com deslocamento sem precisar do tempo.

Passo 3

Aplicar a condição de velocidade nula no topo na fórmula e isolar \,\Delta y.
  • Substituindo \,v=0 em v^{2} = v_{0}^{2} + 2a\Delta y
obtemos 0 = v_{0}^{2} + 2a\Delta y.
  • Isolando \,\Delta y \Delta y = -\frac{v_{0}^{2}}{2a}.
  • Lembrando que \,a=-g, podemos escrever de forma mais direta e positiva: \Delta y = \frac{v_{0}^{2}}{2g},
pois o sinal de a é negativo e o menos na fórmula cancela.
Aqui \,\Delta y é a altura máxima atingida acima do ponto de lançamento (o que o enunciado pede).

Passo 4

Substituir os números e calcular passo a passo:
  • Primeiro escrevo a expressão com os valores: \Delta y = \frac{v_{0}^{2}}{2g} = \frac{(15)^2}{2\cdot 9{,}8}\\ \mathrm{m}.
  • Calculo o numerador: (15)^2 = 225.
  • Calculo o denominador: 2\cdot 9{,}8 = 19{,}6.
  • Então \Delta y = \frac{225}{19{,}6}\\ \mathrm{m}.
Para dividir sem calculadora faço uma simplificação aritmética:
  • Multiplico numerador e denominador por 10 para eliminar a vírgula: \frac{225}{19{,}6} = \frac{2250}{196}.
  • Dividindo 2250 por 196: 196 cabe 11 vezes em 2156 (pois 196\cdot11=2156), resta 2250-2156=94. Portanto o quociente começa com 11 e o resto indica parte decimal.
  • Continuando para aproximar: 94/196 \approx 0{,}48 (porque 196\cdot0{,}48 \approx 94).
  • Assim \Delta y \approx 11{,}48\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida:
  • A altura máxima que a bola atinge acima do ponto de soltura (o topo do parapeito) é aproximadamente \,11{,}48\\ \mathrm{m}.
  • Verificação rápida por ordem de grandeza: com v_0=15\\ \mathrm{m/s} a energia indicaria uma subida de ordem v_0^2/(2g)\sim 225/(20)=11{,}25\\ \mathrm{m}, então nosso valor 11{,}48\\ \mathrm{m} está coerente.

Resposta

\Delta y \approx 11{,}48\\ \mathrm{m}

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