Você arremessa uma bola de baixo para cima do topo de um edificio alto. A bola deixa sua mão à velocidade de
em um ponto que coincide com a extremidade superior do para peito do edificio; a seguir, ela passa a se mover em queda livre. Quando a bola volta, ela passa raspando pelo parapeito e continua a queda. Calcule
a altura máxima atingida;
a altura máxima atingida;
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que nos pedem):
- A bola é lançada verticalmente para cima a partir do topo do parapeito com velocidade inicial
. - Depois do lançamento a bola move-se em queda livre (isto é, só atua a aceleração da gravidade).
- Não há indicação de resistência do ar, então vamos assumir movimento sob aceleração constante devido à gravidade.
- A pergunta: calcular a altura máxima atingida pela bola (ou seja, quanto ela sobe acima do ponto de lançamento, o topo do parapeito).
Passo 2
Escolhendo convenções e recordando as equações básicas (aqui eu explico as fórmulas e o significado de cada símbolo).
- Convenção de sinal: escolho o sentido para cima como positivo.
- A aceleração da gravidade será
dirigida para baixo, então na nossa convenção a aceleração é . - A condição para a altura máxima: no ponto mais alto a velocidade instantânea vertical é zero. Ou seja, se
é a velocidade naquele ponto, então . - Fórmula cinemática útil (válida para aceleração constante):
onde:
-
é a velocidade final (aqui no topo será ), -
é a velocidade inicial ( ), -
é a aceleração ( ), -
é a variação de posição vertical (altura ganha, positiva se subir).
Essa fórmula é muito prática porque relaciona velocidades com deslocamento sem precisar do tempo.
Passo 3
Aplicar a condição de velocidade nula no topo na fórmula e isolar
.
- Substituindo
em
obtemos
- Isolando
dá - Lembrando que
, podemos escrever de forma mais direta e positiva:
pois o sinal de
é negativo e o menos na fórmula cancela.
Aqui
é a altura máxima atingida acima do ponto de lançamento (o que o enunciado pede).
Passo 4
Substituir os números e calcular passo a passo:
- Primeiro escrevo a expressão com os valores:
- Calculo o numerador:
. - Calculo o denominador:
. - Então
Para dividir sem calculadora faço uma simplificação aritmética:
- Multiplico numerador e denominador por
para eliminar a vírgula: - Dividindo
por : cabe vezes em (pois ), resta . Portanto o quociente começa com e o resto indica parte decimal. - Continuando para aproximar:
(porque ). - Assim
.
Passo 5
Interpretação final e verificação rápida:
- A altura máxima que a bola atinge acima do ponto de soltura (o topo do parapeito) é aproximadamente
. - Verificação rápida por ordem de grandeza: com
a energia indicaria uma subida de ordem , então nosso valor está coerente.