Você arremessa uma bola de baixo para cima do topo de um edificio alto. A bola deixa sua mão à velocidade de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um ponto que coincide com a extremidade superior do para peito do edificio; a seguir, ela passa a se mover em queda livre. Quando a bola volta, ela passa raspando pelo parapeito e continua a queda. Calcule
a posição e a velocidade da bola 1,0 s e 4,0 s depois que ela deixa sua mão;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • A bola é lançada para cima a partir do topo do edifício com velocidade inicial \,v_0=15\\ \mathrm{m/s}\, no instante t=0.
  • Após o lançamento a bola fica em queda livre (somente a aceleração da gravidade atua).
  • O enunciado pede: calcular a posição e a velocidade da bola em t=1{,}0\\ \mathrm{s} e em t=4{,}0\\ \mathrm{s} após o lançamento.
Informações adicionais que vou tomar (escolhas e convenções, explícitas para evitar ambiguidades):
  • escolho a origem das posições \,y=0\, no ponto onde a bola foi solta (a extremidade superior do parapeito);
  • tomo a direção para cima como positiva;
  • uso a aceleração da gravidade \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\, apontando para baixo, ou seja, a aceleração é \,a=-g=-9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Relembrando as fórmulas do movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA), úteis para queda livre:
  • A velocidade em função do tempo é dada por
v(t)=v_0 + a\,t.
Aqui:
  • \,v(t)\, é a velocidade no instante t,
  • \,v_0\, é a velocidade inicial no instante t=0,
  • \,a\, é a aceleração (constante).
  • A posição em função do tempo é dada por
y(t)=y_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}a\,t^2.
Aqui:
  • \,y(t)\, é a posição no instante t,
  • \,y_0\, é a posição inicial (aqui \,y_0=0\,),
  • os outros símbolos já foram definidos acima.
Aplicando a nossa convenção ( a=-g e y_0=0) as fórmulas ficam:
v(t)=v_0 - g\,t,
y(t)=v_0\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^2.
Vou usar essas fórmulas para t=1{,}0\\ \mathrm{s} e t=4{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Calcular em t=1{,}0\\ \mathrm{s}.
Primeiro a velocidade:
v(1{,}0)=v_0 - g\cdot 1{,}0 = 15 - 9{,}8\cdot 1{,}0.
Fazendo a conta:
9{,}8\cdot 1{,}0 = 9{,}8, \qquad 15 - 9{,}8 = 5{,}2.
Portanto
v(1{,}0)=5{,}2\\ \mathrm{m/s}.
O sinal positivo indica que a bola ainda está subindo em t=1{,}0\\ \mathrm{s}.
Agora a posição:
y(1{,}0)=v_0\cdot 1{,}0 - \tfrac{1}{2}g\cdot(1{,}0)^2 = 15\cdot 1{,}0 - \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8\cdot 1{,}0^2.
Calcule:
\tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8 = 4{,}9, \qquad 15 - 4{,}9 = 10{,}1.
Logo
y(1{,}0)=10{,}1\\ \mathrm{m}.
Interpretação: em t=1{,}0\\ \mathrm{s} a bola está 10{,}1\\ \mathrm{m} acima do parapeito, subindo com 5{,}2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular em t=4{,}0\\ \mathrm{s}.
Primeiro a velocidade:
v(4{,}0)=v_0 - g\cdot 4{,}0 = 15 - 9{,}8\cdot 4{,}0.
Calcule:
9{,}8\cdot 4{,}0 = 39{,}2, \qquad 15 - 39{,}2 = -24{,}2.
Portanto
v(4{,}0)=-24{,}2\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que a bola está descendo (para baixo) com velocidade de 24{,}2\\ \mathrm{m/s}.
Agora a posição:
y(4{,}0)=v_0\cdot 4{,}0 - \tfrac{1}{2}g\cdot(4{,}0)^2 = 15\cdot 4{,}0 - 4{,}9\cdot 16.
Calcule passo a passo:
15\cdot 4{,}0 = 60{,}0, \qquad 4{,}9\cdot 16 = 78{,}4, \qquad 60{,}0 - 78{,}4 = -18{,}4.
Logo
y(4{,}0)=-18{,}4\\ \mathrm{m}.
Interpretação: em t=4{,}0\\ \mathrm{s} a bola está 18{,}4\\ \mathrm{m} abaixo do parapeito e descendo a 24{,}2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Contextualizando para você entender o porquê do sinal negativo em y(4{,}0): a bola sobe primeiro, para no ponto mais alto e volta a descer. O instante em que ela volta a passar pelo parapeito (ou seja, quando y=0 pela segunda vez) pode ser encontrado resolvendo v_0 t - \tfrac{1}{2}g t^2=0 além da solução t=0. Isso dá
t_{\text{return}}=\frac{2v_0}{g}=\frac{2\cdot 15}{9{,}8}\approx 3{,}06\\ \mathrm{s}.
Como 4{,}0\\ \mathrm{s} é maior que 3{,}06\\ \mathrm{s}, a bola já passou pelo parapeito e está abaixo dele em t=4{,}0\\ \mathrm{s}, o que explica \,y(4{,}0)=-18{,}4\\ \mathrm{m}\,.

Resposta

Em t=1{,}0\\ \mathrm{s}: posição y(1{,}0)=10{,}1\\ \mathrm{m}, velocidade v(1{,}0)=5{,}2\\ \mathrm{m/s}.
Em t=4{,}0\\ \mathrm{s}: posição y(4{,}0)=-18{,}4\\ \mathrm{m}, velocidade v(4{,}0)=-24{,}2\\ \mathrm{m/s}.

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