Possuo um barco cuja velocidade máxima em relação à água é de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, desejo atravessar um rio cuja correnteza tem velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para chegar em um ponto da outra margem que está a uma distância de 100 m seguindo uma linha reta com inclinação de 30^{0} em relação a horizontal na direção contrária à corrente. Qual é o menor intervalo de tempo que eu posso levar para chegar lá?

Passo 1

O enunciado diz que eu tenho um barco cuja velocidade máxima em relação à água é \;4\\ \mathrm{m/s}\; e que a correnteza do rio tem velocidade \;2\\ \mathrm{m/s}\;. Quero atravessar até um ponto que está a uma distância de \;100\\ \mathrm{m}\; numa linha reta cuja inclinação é \;30^\circ\; em relação à horizontal, e essa linha está na direção contrária à corrente.
Informações relevantes fornecidas:
  • velocidade máxima do barco em relação à água: \;4\\ \mathrm{m/s}\;;
  • velocidade da correnteza: \;2\\ \mathrm{m/s}\; (direção horizontal, digamos para a direita);
  • deslocamento desejado (vetor) tem módulo \;100\\ \mathrm{m}\; e direção que forma \;30^\circ\; acima da horizontal, mas para a esquerda (ou seja, na direção contrária à corrente).
    Pergunta pedida: qual é o menor intervalo de tempo que eu posso levar para chegar naquele ponto (ou seja, o tempo mínimo necessário para percorrer exatamente esse deslocamento de \;100\\ \mathrm{m}\; até o ponto indicado)?

Passo 2

Vamos colocar um sistema de referência para trabalhar com vetores (isso facilita muito): escolho o eixo x horizontal, positivo no sentido da corrente (para a direita), e o eixo y vertical (para cima). O deslocamento desejado (do ponto de partida até o ponto de chegada) é um vetor de módulo \;100\\ \mathrm{m}\; formando \;30^\circ\; acima da horizontal, mas apontando para a esquerda. Portanto o ângulo desse vetor em relação ao eixo +x é \;150^\circ (porque \;180^\circ-30^\circ=150^\circ). Vou chamar a direção desse deslocamento de u, o versor nessa direção:
u = (\cos 150^\circ,\;\sin 150^\circ).

Passo 3

Interpretação física do problema e estratégia: durante a travessia a velocidade do barco em relação ao solo (velocidade resultante) é a soma vetorial da velocidade do barco relativa à água ( v_b) com a velocidade da corrente ( v_c):
v_{\text{solo}} = v_b + v_c.
Para chegar exatamente ao ponto desejado seguindo uma linha reta, a velocidade resultante v_{\text{solo}} deve apontar na mesma direção do deslocamento u (caso contrário o barco iria seguir outra direção e não acertaria o ponto em linha reta). Logo podemos escrever
v_{\text{solo}} = \lambda\,u,
onde \lambda>0 é a velocidade escalar do barco ao longo da direção do deslocamento (é a componente da velocidade resultante ao longo de u). O tempo para percorrer os \;100\\ \mathrm{m}\; é
t=\frac{100}{\lambda}.
Para minimizar t precisamos maximizar \lambda sujeito à restrição física de que a velocidade do barco em relação à água tem magnitude no máximo \;4\\ \mathrm{m/s}\;:
|v_b|\le 4.

Passo 4

Relacionando as grandezas: a corrente é conhecida e fixa, assumimos v_c=(2,0) em \mathrm{m/s}. Como v_{\text{solo}}=\lambda u e v_b=v_{\text{solo}}-v_c, temos
v_b=\lambda u - v_c.
A restrição de velocidade do barco vira
|\lambda u - v_c|\le 4.
Queremos o maior \lambda que satisfaça essa desigualdade, porque tempo t=100/\lambda decresce quando \lambda aumenta.

Passo 5

Resolver a desigualdade: como u é um versor ( |u|=1), elevando ao quadrado obtemos
|\lambda u - v_c|^2 \le 16.
Expandindo:
\lambda^2 - 2\lambda\,(u\cdot v_c) + |v_c|^2 \le 16.
Definindo a := u\cdot v_c e sabendo que |v_c|=2, a desigualdade fica
\lambda^2 - 2a\lambda + 4 - 16 \le 0,
ou
\lambda^2 - 2a\lambda -12 \le 0.
Isto é um polinômio quadrático em \lambda; os valores de \lambda que satisfazem a desigualdade estão entre as raízes da equação associada:
\lambda^2 - 2a\lambda -12 = 0.
As raízes são
\lambda = a \pm \sqrt{a^2 + 12}.
Como queremos o maior valor possível de \lambda válido, escolhemos a raiz com o sinal +:
\lambda_{\max} = a + \sqrt{a^2 + 12}.

Passo 6

Calcular a = u\cdot v_c. O vetor corrente é v_c=(2,0) e o versor u tem componente x=\cos 150^\circ. Assim
a = u\cdot v_c = 2\cos 150^\circ.
Como \cos 150^\circ = \cos(180^\circ-30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, vem
a = 2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3}.
Substituindo em \lambda_{\max}:
\lambda_{\max} = -\sqrt{3} + \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 12} = -\sqrt{3} + \sqrt{3 + 12} = -\sqrt{3} + \sqrt{15}.
Portanto
\lambda_{\max} = \sqrt{15} - \sqrt{3}.

Passo 7

Calcular o tempo mínimo usando t_{\min}=100/\lambda_{\max}. Logo
t_{\min} = \frac{100}{\sqrt{15}-\sqrt{3}}.
Podemos computar numericamente: \sqrt{15}\approx 3{,}87298 e \sqrt{3}\approx 1{,}73205, assim \lambda_{\max}\approx 2{,}14093\\ \mathrm{m/s} e
t_{\min}\approx \frac{100}{2{,}14093}\approx 46{,}72\\ \mathrm{s}.
Interpretação física rápida: o barco precisa usar quase toda a sua velocidade relativa à água para compensar a corrente que empurra para a direita; o resultado mostra que mesmo com velocidade da corrente não tão grande é necessário um tempo da ordem de dezenas de segundos para percorrer os \;100\\ \mathrm{m}\; naquele sentido contra a corrente.

Resposta

\displaystyle t_{\min}=\frac{100}{\sqrt{15}-\sqrt{3}}\\ \mathrm{s}\approx 46{,}72\\ \mathrm{s}

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