Possuo um barco cuja velocidade máxima em relação à água é de
, desejo atravessar um rio cuja correnteza tem velocidade de
para chegar em um ponto da outra margem que está a uma distância de 100 m seguindo uma linha reta com inclinação de
em relação a horizontal na direção contrária à corrente. Qual é o menor intervalo de tempo que eu posso levar para chegar lá?
Passo 1
O enunciado diz que eu tenho um barco cuja velocidade máxima em relação à água é
e que a correnteza do rio tem velocidade
. Quero atravessar até um ponto que está a uma distância de
numa linha reta cuja inclinação é
em relação à horizontal, e essa linha está na direção contrária à corrente.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- velocidade máxima do barco em relação à água:
; - velocidade da correnteza:
(direção horizontal, digamos para a direita); - deslocamento desejado (vetor) tem módulo
e direção que forma acima da horizontal, mas para a esquerda (ou seja, na direção contrária à corrente).
Pergunta pedida: qual é o menor intervalo de tempo que eu posso levar para chegar naquele ponto (ou seja, o tempo mínimo necessário para percorrer exatamente esse deslocamento deaté o ponto indicado)?
Passo 2
Vamos colocar um sistema de referência para trabalhar com vetores (isso facilita muito): escolho o eixo
horizontal, positivo no sentido da corrente (para a direita), e o eixo
vertical (para cima). O deslocamento desejado (do ponto de partida até o ponto de chegada) é um vetor de módulo
formando
acima da horizontal, mas apontando para a esquerda. Portanto o ângulo desse vetor em relação ao eixo
é
(porque
). Vou chamar a direção desse deslocamento de
, o versor nessa direção:
Passo 3
Interpretação física do problema e estratégia: durante a travessia a velocidade do barco em relação ao solo (velocidade resultante) é a soma vetorial da velocidade do barco relativa à água (
) com a velocidade da corrente (
):
Para chegar exatamente ao ponto desejado seguindo uma linha reta, a velocidade resultante
deve apontar na mesma direção do deslocamento
(caso contrário o barco iria seguir outra direção e não acertaria o ponto em linha reta). Logo podemos escrever
onde
é a velocidade escalar do barco ao longo da direção do deslocamento (é a componente da velocidade resultante ao longo de
). O tempo para percorrer os
é
Para minimizar
precisamos maximizar
sujeito à restrição física de que a velocidade do barco em relação à água tem magnitude no máximo
:
Passo 4
Relacionando as grandezas: a corrente é conhecida e fixa, assumimos
em
. Como
e
, temos
A restrição de velocidade do barco vira
Queremos o maior
que satisfaça essa desigualdade, porque tempo
decresce quando
aumenta.
Passo 5
Resolver a desigualdade: como
é um versor (
), elevando ao quadrado obtemos
Expandindo:
Definindo
e sabendo que
, a desigualdade fica
ou
Isto é um polinômio quadrático em
; os valores de
que satisfazem a desigualdade estão entre as raízes da equação associada:
As raízes são
Como queremos o maior valor possível de
válido, escolhemos a raiz com o sinal
:
Passo 6
Calcular
. O vetor corrente é
e o versor
tem componente
. Assim
Como
, vem
Substituindo em
:
Portanto
Passo 7
Calcular o tempo mínimo usando
. Logo
Podemos computar numericamente:
e
, assim
e
Interpretação física rápida: o barco precisa usar quase toda a sua velocidade relativa à água para compensar a corrente que empurra para a direita; o resultado mostra que mesmo com velocidade da corrente não tão grande é necessário um tempo da ordem de dezenas de segundos para percorrer os
naquele sentido contra a corrente.