Você deve projetar um circuito RLC série, que alimentado com uma tensão de 120 V , 60 Hz , apresente os seguintes valores:
  • Potência ativa total do circuito: 52,5321 \mathrm{~W}.
  • Fator de potência: 0,6296 (atrasado).
  • Módulo da tensão sobre o ramo indutivo do circuito: 190,6219 \mathrm{~V}.
  • Módulo da tensão sobre o ramo capacitivo do circuito: 97,0688 \mathrm{~V}.
O circuito deve conter, no máximo, 6 elementos (considerando os resistores, indutores e capacitores).
Para o projeto, considere os seguintes valores padronizados dos elementos:
  • Resistor =139 \Omega
  • Indutor =363 \mathrm{mH} e 8 \Omega (resistência interna)
  • Capacitor =19 \mu \mathrm{~F}
No seu relatório as seguintes perguntas devem ser respondidas.
a) Mostre, por meio de um diagrama fasorial, que a soma das tensões sobre os elementos resistivo, indutivo e capacitivo é igual a tensão da fonte.
b) Por que que a defasagem entre a tensão sobre o elemento indutivo é menor que 90^{\circ} ?
c) Qual é a corrente do circuito?
d) Qual é a defasagem da corrente em relação à tensão da fonte?
e) Qual é a magnitude da tensão sobre o elemento resistivo?
f) Qual é a defasagem da tensão sobre o elemento indutivo em relação à tensão da fonte?
g) Qual é a defasagem da tensão sobre o elemento capacitivo em relação à tensão da fonte?
h) Qual é a defasagem da tensão sobre o elemento indutivo em relação à corrente?
i) Qual é a defasagem da tensão sobre o elemento capacitivo em relação à corrente?
j) Qual é a potência reativa capacitiva do circuito?
k) Qual é a potência reativa indutiva do circuito?
l) Qual é a potência ativa dissipada na resistência interna do elemento indutivo?
m) Qual é a potência ativa dissipada no elemento resistivo?

Passo 1

O enunciado pede o projeto de um circuito série RLC que, alimentado por \,120\text{ V}, 60\text{ Hz}, apresente
  • potência ativa P=52{,}5321\text{ W},
  • fator de potência \mathrm{pf}=0{,}6296 (atrasado),
  • \lvert V_{L}\rvert=190{,}6219\text{ V} e \lvert V_{C}\rvert=97{,}0688\text{ V}.
    O circuito usará, no máximo, 6 elementos, e “valores padronizados” são: \,R_{\rm std}=139\:\Omega, indutor \,L_{\rm std}=363\text{ mH} com resistência interna 8\:\Omega, capacitor 19\:\mu\text{F}.
    Conteúdo: análise fasorial de circuito série RLC, cálculo de I, ângulos de defasagem, tensões nos elementos e potências ativa/reactiva.

Passo 2

Calcular a corrente e a impedância total a partir de P e \mathrm{pf}.
A corrente eficaz é
I \;=\;\frac{P}{V\,\mathrm{pf}} \;=\;\frac{52{,}5321}{120\cdot0{,}6296} \;=\;0{,}69555\text{ A}.
O módulo da impedância total é
\lvert Z\rvert=\frac{V}{I} =\frac{120}{0{,}69555} =172{,}64\:\Omega.
O ângulo de fase \varphi entre V e I satisfaz
\cos\varphi=\mathrm{pf}=0{,}6296 \quad\Longrightarrow\quad \varphi= \operatorname{arccos}(0{,}6296)=51{,}13^\circ \quad(\text{atrasado}).

Passo 3

Determinar a parte real e imaginária de Z:
R_{\rm tot}= \lvert Z\rvert\cos\varphi =172{,}64\cdot0{,}6296 =108{,}72\:\Omega,
X_{\rm tot} =\lvert Z\rvert\sin\varphi =172{,}64\cdot\sin(51{,}13^\circ) =134{,}21\:\Omega.
Como é fator de potência atrasado (indutivo), X_{\rm tot}=X_L - X_C =+134{,}21\:\Omega.

Passo 4

Usando as tensões desejadas sobre indutor e capacitor, encontra-se
X_L=\frac{\lvert V_L\rvert}{I} =\frac{190{,}6219}{0{,}69555} =274{,}13\:\Omega,
X_C=\frac{\lvert V_C\rvert}{I} =\frac{97{,}0688}{0{,}69555} =139{,}60\:\Omega.
Confirma-se X_L - X_C=274{,}13-139{,}60=134{,}53\approx134{,}21\:\Omega.

Passo 5

Calcular os valores ideais dos elementos:
L=\frac{X_L}{\omega} =\frac{274{,}13}{2\pi\cdot60} =0{,}726\:\mathrm{H}, \quad C=\frac{1}{\omega\,X_C} =\frac{1}{2\pi\cdot60\cdot139{,}60} =19{,}0\:\mu\mathrm{F}.
A partir de R_{\rm tot} e da resistência interna do(s) indutor(es),
R_{\rm carga}=R_{\rm tot}-R_{L,\rm tot} =108{,}72 - R_{L,\rm tot}.

Passo 6

Escolha padronizada para L: usar 2 indutores de 363\text{ mH} em série \Rightarrow L_{\rm tot}=2\times0{,}363=0{,}726\:\mathrm{H} e R_{L,\rm tot}=2\times8=16\:\Omega.
Então
R_{\rm carga} =108{,}72-16 =92{,}72\:\Omega \quad(\text{não coincide com }139\:\Omega\text{, mas é o ideal}\!).ãé
Escolha padronizada para C: 1 capacitor de 19\:\mu\mathrm{F}.
Total de elementos =2 indutores +1 capacitor +1 resistor ideal =4.

Passo 7

Resumo dos valores finais (ideais ou padronizados): R=92{,}72\:\Omega, L=2\times363\text{ mH}, R_{L}=16\:\Omega, C=19\:\mu\mathrm{F}.
Corrente I=0{,}69555\:\mathrm{A}, \varphi=51{,}13^\circ (atrasada).

Passo 8

Calcular as tensões e ângulos em cada elemento:
V_R = I\,R_{\rm carga}=0{,}69555\cdot92{,}72=64{,}54\:\mathrm{V}, \quad V_L=190{,}62\:\mathrm{V}, \quad V_C=97{,}07\:\mathrm{V}.
Ângulo da corrente: \theta_I=-51{,}13^\circ em relação a V_{\rm fonte}.
Defasagem V_L vs.; I: +90^\circ.
Defasagem V_C vs.; I: -90^\circ.
Logo,
\angle V_L \text{ em relação a }V_{\rm fonte} =-51{,}13^\circ +90^\circ=38{,}87^\circ,çã
\angle V_C \text{ em relação a }V_{\rm fonte} =-51{,}13^\circ -90^\circ=-141{,}13^\circ.çã

Passo 9

Potências reativa e ativa em cada elemento:
Q_L = I^2\,X_L =0{,}69555^2\cdot274{,}13 =132{,}29\:\mathrm{VAR}, \quad Q_C = I^2\,X_C =0{,}69555^2\cdot139{,}60 =67{,}67\:\mathrm{VAR} \quad(\text{capacitivo, vale }-67{,}67\text{ VAR}).
Potências ativas
P_{L,\rm int}=I^2\,R_{L,\rm tot} =0{,}69555^2\cdot16 =7{,}73\:\mathrm{W}, \quad P_{R}=I^2\,R_{\rm carga} =0{,}69555^2\cdot92{,}72 =44{,}80\:\mathrm{W}.
Soma: P_{L,\rm int}+P_R=52{,}53\:\mathrm{W}.

Resposta

a) Veja o diagrama fasorial abaixo (vetores iniciados em 0\circ para V, em -51{,}13^\circ para I).
V_R em fase com I.
V_L defasado +90^\circ em relação a I (fica em +38{,}87^\circ em relação a V).
V_C defasado -90^\circ em relação a I (fica em -141{,}13^\circ em relação a V).
b) A defasagem de V_L em relação a V é menor que 90^\circ porque o conjunto série R–indutor faz a corrente atrasar menos do que 90^\circ; o ângulo total \varphi=51{,}13^\circ “puxa” o vetor V_L para mais perto do eixo de V.
c) I=0{,}69555\:\mathrm{A}.
d) Corrente defasada \varphi=51{,}13^\circ atrás de V_{\rm fonte}.
e) V_R=I\,R_{\rm carga}=64{,}54\:\mathrm{V}.
f) \angle(V_L,V_{\rm fonte})=38{,}87^\circ.
g) \angle(V_C,V_{\rm fonte})=-141{,}13^\circ.
h) \angle(V_L,I)=+90^\circ.
i) \angle(V_C,I)=-90^\circ.
j) Q_C=-\,67{,}67\:\mathrm{VAR} (capacitivo).
k) Q_L=+\,132{,}29\:\mathrm{VAR}.
l) P_{L,\rm int}=I^2R_{L,\rm tot}=7{,}73\:\mathrm{W}.
m) P_{R}=I^2R_{\rm carga}=44{,}80\:\mathrm{W}.

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