Você dirige da cidade A à cidade B metade do tempo a
e a outra metade a
. Na volta percorre metade da distância a
e a outra metade a
. Qual a sua velocidade escalar média
da cidade A à cidade B
da cidade A à cidade B
Passo 1
O enunciado pede a velocidade escalar média da viagem de
cidade A
até
cidade B
. As informações dadas são:
- Metade do tempo da viagem de A para B é feita à velocidade
- A outra metade do tempo da viagem de A para B é feita à velocidade
- O enunciado também descreve a volta (metade da distância a
e metade a ), mas a pergunta final é somente sobre a velocidade média de A para B, portanto a informação da volta não é necessária para responder esta pergunta.
Passo 2
Vamos lembrar a definição importante: a velocidade média escalar
numa viagem é dada por
Aqui
é a velocidade média que queremos, a “distância total” é a soma das distâncias percorridas em cada trecho e o “tempo total” é a soma dos tempos gastos em cada trecho. Se num trecho
temos velocidade
e tempo
, a distância desse trecho é
Passo 3
Agora aplicamos isso ao problema. Seja
o tempo total da viagem de A para B. Como metade do tempo é em cada velocidade, temos
As distâncias percorridas em cada parte são
A distância total
é
Aplicando a definição de velocidade média,
Ou seja, quando os trechos têm tempos iguais, a velocidade média é a média aritmética das velocidades — faz sentido intuitivo: passar o mesmo tempo em cada velocidade significa que cada velocidade contribui igualmente para a média.
Passo 4
Calcule numericamente:
Só uma observação didática rápida: se a condição fosse “metade da distância a uma velocidade e metade da distância a outra”, a média não seria a aritmética, e sim a média harmônica
porque aí os tempos não são iguais e é preciso usar
. No enunciado da volta isso aparece (metade da distância em cada velocidade), mas para a ida (metade do tempo em cada velocidade) usamos a média aritmética como fizemos.