Duas máquinas idênticas são posicionadas à mesma distância de um trabalhador. A intensidade do som emitido por cada máquina operando no local onde está o trabalhador é de 2,0 \times 10^{-7} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}.
(a) Encontre o nível de intensidade sonora ouvido pelo trabalhador quando uma máquina está funcionando.
(b) Encontre o nível de intensidade sonora ouvido pelo trabalhador quando duas máquinas estão funcionando.
(R: (a) 53 dB ; (b) 56 dB ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informação: a intensidade do som produzida por cada máquina, no local onde está o trabalhador, é \displaystyle I_{\text{máquina}}=2,0\times10^{-7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2á.
  • Informação implícita: as duas máquinas são idênticas e estão à mesma distância do trabalhador (logo, se as duas funcionam, as intensidades somam).
  • Pergunta (a): encontre o nível de intensidade sonora ouvido quando uma máquina está funcionando.
  • Pergunta (b): encontre o nível de intensidade sonora ouvido quando duas máquinas estão funcionando.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O nível de intensidade sonora (ou nível sonoro) em decibéis é definido por
\beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right),
onde:
  • \beta é o nível sonoro em decibéis ( \mathrm{dB});
  • I é a intensidade sonora em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2;
  • I_0 é a intensidade de referência, convencionalmente \displaystyle I_0=1\times10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 (este valor representa aproximadamente o limiar de audição humana).
  • Explicação simples: a fórmula compara a intensidade atual I com I_0 em uma escala logarítmica; multiplicamos por 10 porque estamos medindo potência (intensidade). O logarítmo base 10 transforma razões grandes em números manejáveis.

Passo 3

Cálculo do item (a) — nível sonoro de uma máquina.
  • Substituímos I=\displaystyle 2,0\times10^{-7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 na fórmula:
\beta_1 = 10\log_{10}\!\left(\frac{2,0\times10^{-7}}{1\times10^{-12}}\right).
  • Primeiro calcule a razão dentro do logaritmo:
\frac{2,0\times10^{-7}}{1\times10^{-12}} = 2,0\times10^{5}.
  • Agora usamos a propriedade do logaritmo \log_{10}(a\cdot10^{b})=\log_{10}(a)+b. Com a=2,0 e b=5:
\log_{10}\!\left(2,0\times10^{5}\right)=\log_{10}(2,0)+5.
  • Valor numérico aproximado: \log_{10}(2,0)\approx0,30103. Logo
\log_{10}\!\left(2,0\times10^{5}\right)\approx0,30103+5=5,30103.
  • Multiplicando por 10:
\beta_1 \approx 10\times5,30103=53,0103\\ \mathrm{dB}.
  • Arredondando para a precisão usual de níveis sonoros, obtemos \beta_1\approx53\\ \mathrm{dB}. Parabéns — você já tem a resposta do item (a).

Passo 4

Por que, ao ligar duas máquinas iguais, somamos intensidades (e não decibéis)?
  • Intensidade é potência por área; quando existem duas fontes independentes (não coerentes), as potências que chegam ao mesmo ponto simplesmente se somam.
  • Decibéis são uma medida logarítmica da intensidade; portanto, para combinar fontes primeiro somamos as intensidades e depois convertemos para decibéis, ou usamos a regra que um acréscimo de 10\log_{10}(N) dB ocorre ao somar N fontes idênticas.

Passo 5

Cálculo do item (b) — nível sonoro de duas máquinas.
  • A intensidade total é a soma das duas intensidades idênticas:
I_{\text{total}} = 2\times\left(2,0\times10^{-7}\right)=4,0\times10^{-7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Substituímos na fórmula:
\beta_2 = 10\log_{10}\!\left(\frac{4,0\times10^{-7}}{1\times10^{-12}}\right).
  • Calcule a razão:
\frac{4,0\times10^{-7}}{1\times10^{-12}} = 4,0\times10^{5}.
  • Use \log_{10}(4,0)\approx0,60206. Assim
\log_{10}\!\left(4,0\times10^{5}\right)=0,60206+5=5,60206.
  • Multiplicando por 10:
\beta_2 \approx 10\times5,60206=56,0206\\ \mathrm{dB}.
  • Arredondando para a precisão usual: \beta_2\approx56\\ \mathrm{dB}.

Passo 6

Método alternativo (útil na prova): somando níveis idênticos em dB.
  • Se duas fontes têm o mesmo nível \beta_1, o nível combinado é
\beta_2 = \beta_1 + 10\log_{10}(2).
  • Como 10\log_{10}(2)\approx3,0103\\ \mathrm{dB}, então \beta_2\approx53,0103+3,0103\approx56,0206\\ \mathrm{dB}, mesmo resultado que obtivemos antes.
  • Observação final e incentivo: a subida de nível ao dobrar o número de fontes idênticas é sempre aproximadamente 3,01\\ \mathrm{dB}. Isso é pequeno — por isso muitas máquinas somadas aumentam pouco o nível em dB.

Resposta

(a) 53\\ \mathrm{dB}
(b) 56\\ \mathrm{dB}

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