Você está dirigindo por uma estrada a 20,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Um trem se aproxima em um trilho paralelo à estrada. O apito do trem toca a uma frequência de 800 Hz , mas você ouve um apito de 950 Hz . Qual é a velocidade do trem se aproximando?

Passo 1

O enunciado diz que você dirige com v_\mathrm{o}=20{,}0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} e ouve frequência f_\mathrm{o}=950\,\mathrm{Hz} emitida por um apito cuja frequência real é f_\mathrm{s}=800\,\mathrm{Hz}. O tema aqui é o efeito Doppler para som com observador e fonte em movimento relativo.

Passo 2

Quando observador e fonte se movem um em direção ao outro, a frequência percebida satisfaz
f_\mathrm{o} = \frac{v + v_\mathrm{o}}{v - v_\mathrm{s}}\,f_\mathrm{s},
onde v é a velocidade do som e v_\mathrm{s} é a velocidade da fonte (trem) aproximando-se do observador.

Passo 3

Para encontrar v_\mathrm{s}, escrevemos
\frac{f_\mathrm{o}}{f_\mathrm{s}} = \frac{v + v_\mathrm{o}}{v - v_\mathrm{s}} \quad\Longrightarrow\quad v - v_\mathrm{s} = (v + v_\mathrm{o})\,\frac{f_\mathrm{s}}{f_\mathrm{o}} \quad\Longrightarrow\quad v_\mathrm{s} = v - (v + v_\mathrm{o})\,\frac{f_\mathrm{s}}{f_\mathrm{o}}.

Passo 4

Adotando a velocidade do som típica v=343\,\mathrm{m}/\mathrm{s} e usando os valores do enunciado, temos
\frac{f_\mathrm{s}}{f_\mathrm{o}} = \frac{800}{950} \approx 0{,}8421, \qquad v + v_\mathrm{o} = 343 + 20{,}0 = 363{,}0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 5

Substituindo na fórmula de v_\mathrm{s}:
v_\mathrm{s} = 343 - 363{,}0 \times 0{,}8421 \approx 343 - 305{,}7 = 37{,}3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Resposta

A velocidade do trem aproximando-se é de aproximadamente 37{,}3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

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