Um solenoide toroidal, de permeabilidade magnética relativa igual a 500 , seção reta igual a 200,0 [ \mathrm{cm}^{2} ] e comprimento médio igual a 0,8 [ m ] é enrolado com uma bobina de 100 espiras. A corrente através da bobina é 5,0[\mathrm{~A}] e o núcleo do solenoide tem um gap (entreferro) de 2,0[\mathrm{~mm}]. Pede-se: (a) as relutâncias magnéticas do núcleo e do gap; (b) o fluxo magnético do núcleo.

Passo 1

O enunciado descreve um solenoide toroidal com núcleo de permeabilidade relativa \mu_r=500, área de seção reta A=200{,}0\\ \mathrm{cm}^2 e comprimento médio l_\text{núcleo}=0{,}8\\ \mathrm{m}ú. A bobina tem N=100 espiras percorridas por corrente I=5{,}0\\ \mathrm{A} e existe um gap (entreferro) de comprimento l_\text{gap}=2{,}0\\ \mathrm{mm}. Precisamos calcular:\r
(a) as relutâncias magnéticas do núcleo ( \mathcal{R}_\text{núcleo}ú) e do gap ( \mathcal{R}_\text{gap});\r
(b) o fluxo magnético \Phi no núcleo.\r
\r
O conteúdo envolve circuito magnético, uso de\r
\displaystyle \mathcal{R}=\frac{l}{\mu_0\mu_r A}\r
para o núcleo e\r
\displaystyle \mathcal{R}=\frac{l}{\mu_0 A}\r
para o gap, e depois\r
\Phi = \frac{N I}{\mathcal{R}_\text{núcleo}+\mathcal{R}_\text{gap}}ú.

Passo 2

Converter unidades para o SI e definir constantes:\r
A área em metros quadrados é\r
A = 200{,}0\\ \mathrm{cm}^2 = 200{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 2{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2.\r
O comprimento do gap em metros é\r
l_\text{gap} = 2{,}0\\ \mathrm{mm} = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.\r
A permeabilidade do vácuo vale\r
\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.\r
A permeabilidade efetiva do núcleo é \mu_0\mu_r.

Passo 3

Calcular a relutância do núcleo:\r
\mathcal{R}_\text{núcleo} = \frac{l_\text{núcleo}}{\mu_0\,\mu_r\,A} = \frac{0{,}8}{\bigl(4\pi\times10^{-7}\bigr)\times500\times(2{,}0\times10^{-2})}.úú\r
Numérico:\r
4\pi\times10^{-7}\approx1{,}2566\times10^{-6},\quad \mu_0\mu_r\approx1{,}2566\times10^{-6}\times500=6{,}2832\times10^{-4},
\mathcal{R}_\text{núcleo} = \frac{0{,}8}{6{,}2832\times10^{-4}\times2{,}0\times10^{-2}} \approx6{,}37\times10^{4}\\ \mathrm{A\cdott/Wb}.

Passo 4

Calcular a relutância do gap (ar):\r
\mathcal{R}_\text{gap} = \frac{l_\text{gap}}{\mu_0\,A} = \frac{2{,}0\times10^{-3}}{(4\pi\times10^{-7})\times(2{,}0\times10^{-2})}.\r
Numérico:\r
\mathcal{R}_\text{gap} = \frac{2{,}0\times10^{-3}}{1{,}2566\times10^{-6}\times2{,}0\times10^{-2}} \approx7{,}96\times10^{4}\\ \mathrm{A\cdott/Wb}.

Passo 5

Determinar o fluxo magnético, sabendo que a força magnetomotriz é NI e está aplicada sobre núcleo e gap em série:\r
\Phi = \frac{N\,I}{\mathcal{R}_\text{núcleo}+\mathcal{R}_\text{gap}} = \frac{100\times5{,}0}{6{,}37\times10^{4}+7{,}96\times10^{4}} \\ \mathrm{Wb}.ú\r
Somando as relutâncias:\r
\mathcal{R}_\text{total}\approx1{,}433\times10^{5}\\ \mathrm{A\cdott/Wb}, então\r
\Phi \approx \frac{500}{1{,}433\times10^{5}} \approx3{,}49\times10^{-3}\\ \mathrm{Wb}.

Resposta

(a) \mathcal{R}_\text{núcleo}\approx6{,}37\times10^{4}\\ \mathrm{A\cdott/Wb}, \mathcal{R}_\text{gap}\approx7{,}96\times10^{4}\\ \mathrm{A\cdott/Wb}. \r
(b) \Phi\approx3{,}49\times10^{-3}\\ \mathrm{Wb}.

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