Você foi chamado para construir um modelo teórico para o comportamento de variáveis oceanográficas na Margem Equatorial Brasileira (MEB).
e) Para avaliar o comportamento da energia mecânica na entrada de um estuário bem misturado, onde a circulação é dominada pelas marés (circulação barotrópica) e atrito lateral desprezível.

Passo 1

O enunciado pede um modelo teórico para a energia mecânica na entrada de um estuário bem misturado, com circulação barotrópica dominada pelas marés e atrito lateral desprezível. O conteúdo que vamos usar são as equações de águas rasas (shallow-water) unidimensionais sem termos de atrito, pois a circulação é barotrópica e o escoamento é horizontal.

Passo 2

Escrevemos as equações de continuidade e de quantidade de movimento para lâmina d’água de altura média H e onda de maré eta(x,t), com velocidade horizontal u(x,t):
partialt,eta + partialx,(H,u) = 0
partialt,u + g,partialx,eta = 0
Aqui eta é a elevação da superfície livre, u é a velocidade barotrópica e g é a aceleração da gravidade. Não há termos de atrito lateral.

Passo 3

Para obter a equação de energia mecânica, multiplicamos a equação de continuidade por g,eta e a equação de momento por H,u, e somamos:
Multiplicando continuidade por g,eta:
g,eta,partialt,eta ;+; g,eta,partialx,(H,u) ;=;0
Multiplicando momento por H,u:
H,u,partialt,u ;+; g,H,u,partialx,eta ;=;0
Somando as duas:
H,u,partialtu + g,eta,partialteta + g,H,u,partialxeta + g,eta,partialx(H,u)=0

Passo 4

Reconhecemos derivadas totais nos dois primeiros termos e divergência nos dois últimos:
partialt!l(tfrac12,H,u^2 + tfrac12,g,eta^2r) ;+; g,partialxl(eta,H,ur) ;=;0
Logo, a densidade de energia mecânica por unidade de área é
E = tfrac12,H,u^2 ;+; tfrac12,g,eta^2
e o fluxo de energia é
F = g,eta,H,u
A equação final de conservação de energia mecânica fica
partialtE + partialxF = 0

Resposta

A equação de conservação de energia mecânica na entrada do estuário, sem atrito lateral, é
partialt!l(tfrac12,H,u^2 + tfrac12,g,eta^2r) + partialxl(g,eta,H,ur) = 0,
onde
E = tfrac12,H,u^2 + tfrac12,g,eta^2, F = g,eta,H,u

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