Você joga uma bola de uma altura de 20 metros sobre uma superfície plana. Cada vez que a bola atinge a superfície depois de cair de uma distância h, ela rebate a uma distância r h, onde r é positivo menor do que 1. Encontre a distância vertical total percorrida pela bola quicando para cima e para baixo.

Passo 1

O enunciado diz que uma bola é solta de uma altura inicial h=20 m e que, a cada vez que bate no chão após cair de uma altura h', ela sobe até a altura r,h', com 0<r<1.
O conteúdo principal aqui é a soma de uma série geométrica infinita: vamos somar todas as quedas e subidas.

Passo 2

A primeira parte do percurso é a queda inicial de altura
h = 20

Passo 3

Em seguida, a bola faz infinitos “quicas”. No n-ésimo quique (com n>=1):
– ela sobe uma altura r^n h,
– depois desce a mesma altura r^n h.
Logo, a distância vertical no n-ésimo quique é
2,r^n h

Passo 4

Somando todos os quiques, temos a série geométrica
sumn=1^infty2,r^n h =2hsumn=1^inftyr^n =2hcdotr1-r,
pois sumn=1^infty r^n=tfracr1-r para |r|<1.

Passo 5

O percurso total é a queda inicial mais todos os quiques:
Distância total = h + 2hr1-r = hl(1+2r1-rr) = h1-r+2r1-r = h1+r1-r â

Resposta

Substituindo h=20, a distância vertical total é
20,1+r1-r metros

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