Você joga uma bola de uma altura de 20 metros sobre uma superfície plana. Cada vez que a bola atinge a superfície depois de cair de uma distância
, ela rebate a uma distância
, onde
é positivo menor do que 1. Encontre a distância vertical total percorrida pela bola quicando para cima e para baixo.
Passo 1
O enunciado diz que uma bola é solta de uma altura inicial
m e que, a cada vez que bate no chão após cair de uma altura
, ela sobe até a altura
, com
.
O conteúdo principal aqui é a soma de uma série geométrica infinita: vamos somar todas as quedas e subidas.
O conteúdo principal aqui é a soma de uma série geométrica infinita: vamos somar todas as quedas e subidas.
Passo 2
A primeira parte do percurso é a queda inicial de altura
Passo 3
Em seguida, a bola faz infinitos “quicas”. No
-ésimo quique (com
):
– ela sobe uma altura ,
– depois desce a mesma altura .
Logo, a distância vertical no -ésimo quique é
– ela sobe uma altura
– depois desce a mesma altura
Logo, a distância vertical no
Passo 4
Somando todos os quiques, temos a série geométrica
pois
para
.
Passo 5
O percurso total é a queda inicial mais todos os quiques:
Resposta
Substituindo
, a distância vertical total é