Calcule usando frações parciais:
integral 4x^4-1 d x

Passo 1

Resumo: queremos calcular integral 4x^4-1,dx. O conteúdo é frações parciais, e a gente vai precisar fatorar o denominador e decompor a função em frações mais simples.

Passo 2

Fatoração do denominador: x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1). Assim podemos escrever
4x^4-1=Ax-1+Bx+1+Cx+Dx^2+1

Passo 3

Determinação de A e B: multiplica tudo por (x-1)(x+1)(x^2+1) e avalia em x=1 e x=-1: em x=1 vem 4=4A então A=1; em x=-1 vem 4=-4B então B=-1.

Passo 4

Determinação de C e D: expandindo a identidade
4 = A(x+1)(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)+(Cx+D)(x^2-1)
e igualando coeficientes de potências de x, com A=1 e B=-1, achamos C=0 e D=-2.

Passo 5

Reescrevendo a decomposição final:
4x^4-1=1x-1-1x+1-2x^2+1

Passo 6

Integração termo a termo:
integral1x-1dx=ln|x-1|,integral1x+1dx=ln|x+1|,integral2x^2+1dx=2arctan x

Resposta

ln|x-1x+1|-2arctan x+C

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