Você está em pé na plataforma de uma estação de trem observando um trem passar em alta velocidade. Uma luz dentro de um dos vagões é acesa e pouco depois apagada.
(a) Quem pode medir o intervalo de tempo próprio para a duração da luz: você ou um passageiro no trem?
(a) Quem pode medir o intervalo de tempo próprio para a duração da luz: você ou um passageiro no trem?
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que ele pede. O enunciado descreve:
- Você está parado na plataforma observando um trem passar em alta velocidade.
- Dentro de um dos vagões acende-se uma luz e, um tempo depois, ela apaga — ou seja, há dois eventos: “luz acende” e “luz apaga”.
A pergunta é simples: quem pode medir o intervalo de tempo próprio para a duração da luz — você (observador na plataforma) ou um passageiro no trem?
Passo 2
Defino os dois eventos relevantes, que são os únicos que importam para medir a duração:
- Evento A: a lâmpada acende.
- Evento B: a lâmpada apaga.
Nota importante que está no enunciado: os dois eventos acontecem no mesmo vagão, ou seja, no mesmo lugar do ponto de vista do trem.
Passo 3
Agora eu ensino o conceito central: o que é tempo próprio e como identificá-lo.
- Tempo próprio é o intervalo de tempo medido por um único relógio que está presente em ambos os eventos. Em outras palavras, é o tempo medido em um referencial no qual os dois eventos ocorrem no mesmo lugar espacial.
- Em notação relativística, o intervalo de espaço-tempo entre dois eventos é
onde:
-
é o intervalo (invariante), -
é a velocidade da luz, -
é o tempo próprio entre os eventos (o que queremos identificar), -
e são, respectivamente, a diferença de tempo e de posição entre os eventos no referencial considerado.
Explicação das variáveis de forma simples:é o que um observador daquele referencial lê entre os eventos, é quanto a posição mudou no mesmo referencial. Se em algum referencial , então a fórmula reduz a naquele referencial — logo ali o tempo medido é o tempo próprio.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso problema (passo a passo):
- Pelo enunciado, do ponto de vista do trem (referencial do vagão) os dois eventos ocorrem no mesmo lugar do vagão. Logo, no referencial do trem vale
. Portanto, no referencial do trem o tempo entre os eventos é exatamente o tempo próprio:
(Nesta linha,
é o intervalo medido por um relógio fixo no vagão — por exemplo, o relógio do passageiro ao lado da lâmpada.)
- No referencial da plataforma, os dois eventos NÃO ocorrem no mesmo lugar porque o vagão está se deslocando. Se a velocidade do trem relativa à plataforma é
, então a separação espacial entre os eventos na plataforma é , que é diferente de zero.
Passo 5
Mostro a consequência quantitativa (fórmula de dilatação do tempo) — isso ajuda a entender por que a plataforma não mede o tempo próprio:
- A partir de
e substituindo (na plataforma), obtemos
Tomando raiz positiva,
Rearranjando,
Interpretação simples: o tempo
medido pela plataforma é maior do que o tempo próprio
. Em linguagem comum: um observador que vê o relógio do vagão passando (você na plataforma) medirá um intervalo de tempo dilatado (mais longo) em relação ao relógio que está junto à lâmpada.
Passo 6
Resumo do raciocínio didático e intuitivo (sem repetir a resposta final palavra por palavra):
- Tempo próprio é medido por um único relógio presente em ambos os eventos.
- Os eventos “luz acende” e “luz apaga” ocorrem no mesmo lugar no referencial do trem (
), então o relógio do vagão registra exatamente o tempo próprio. - O observador na plataforma vê os eventos em posições diferentes (
), e por isso mede um tempo maior (dilatação temporal) que não é o tempo próprio.
Resposta
O passageiro no trem.