O que você pode dizer sobre o número de soluções do sistema abaixo?
r 5 x1+2 x2+3 x3+9 x4=0 -3 x2+9 x3-13 x4=0 -2 x3+x4=0 x4=1

Passo 1

Temos um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas x1,x2,x3,x4. Observando a forma das equações, notamos que a última equação fixa x4, a antepenúltima envolve apenas x3 e x4, a segunda envolve x2,x3,x4 e a primeira todas as variáveis. Isso caracteriza um sistema triangular que podemos resolver por substituição regressiva (back-substitution).

Passo 2

Da quarta equação temos
x4 = 1
Substituindo em -2x3+x4=0 (terceira equação) obtemos
-2x3 + 1 = 0 Longrightarrow x3 = 12

Passo 3

Agora usamos x3=tfrac12 e x4=1 na segunda equação
-3x2 + 9x3 - tfrac13x4 = 0 Longrightarrow -3x2 + 9cdottfrac12 - tfrac13cdot1 = 0
Calculando os termos constantes,
9cdottfrac12 - tfrac13 = tfrac92 - tfrac13 = tfrac27-26 = tfrac256,
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-3x2 + tfrac256 = 0 Longrightarrow x2 = 2518

Passo 4

Por fim, substituímos x2=tfrac2518, x3=tfrac12 e x4=1 na primeira equação
5x1 + 2x2 + 3x3 + 9x4 = 0
Os termos constantes somam
2cdottfrac2518 + 3cdottfrac12 + 9 = tfrac259 + tfrac32 + 9 = tfrac50 + 27 + 16218 = tfrac23918,
assim
5x1 + tfrac23918 = 0 Longrightarrow x1 = -23990

Passo 5

Obtivemos exatamente um valor para cada variável x1,x2,x3,x4. Portanto o sistema tem solução única.

Resposta

O sistema possui exatamente uma solução.

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