Em
definimos as operações:
e a multiplicação
para quaisquer
e qualquer
é um espaço vetorial real com tais operações? Se verdadeiro, você deve mostrar as 8 condições da definição de esp. vet. Se falso, encontre uma condição da definição de esp. vet. que falha e dê um exemplo numérico para verificar que falha tal condição.
Passo 1
O enunciado define em
a “soma”
e a multiplicação escalar usual
. Para ser espaço vetorial real, essas operações teriam de satisfazer os 8 axiomas (fechamento, comutatividade da soma, associatividade da soma, elemento neutro, inverso aditivo, compatibilidade de escalar-soma, compatibilidade de escalar-escalar e existência do escalar
). Vamos verificar se todos valem.
Passo 2
Um dos axiomas diz que a soma deve ser comutativa, isto é, para todo
Se encontrarmos vetores
e
tais que
, concluímos que não é espaço vetorial.
Passo 3
Escolhemos
Então
enquanto
Como
, a soma não é comutativa.
Resposta
Não,
com essa “soma” e essa multiplicação escalar não é espaço vetorial real, pois falha o axioma da comutatividade da soma.