Em R^3 definimos as operações: (x1, x2, x3)+(y1, y2, y3)=(x1+y2, x2+y1, x3+y3) e a multiplicação alpha(x, y, z)=(alpha x, alpha y, alpha z) para quaisquer (x1, x2, x3),(y1, y2, y3),(x, y, z) in R^3 e qualquer alpha in R R^3 é um espaço vetorial real com tais operações? Se verdadeiro, você deve mostrar as 8 condições da definição de esp. vet. Se falso, encontre uma condição da definição de esp. vet. que falha e dê um exemplo numérico para verificar que falha tal condição.

Passo 1

O enunciado define em R^3 a “soma”
(x1,x2,x3) + (y1,y2,y3) = (,x1+y2,;x2+y1,;x3+y3,)
e a multiplicação escalar usual
alpha(x,y,z)=(alpha x,alpha y,alpha z). Para ser espaço vetorial real, essas operações teriam de satisfazer os 8 axiomas (fechamento, comutatividade da soma, associatividade da soma, elemento neutro, inverso aditivo, compatibilidade de escalar-soma, compatibilidade de escalar-escalar e existência do escalar 1). Vamos verificar se todos valem.

Passo 2

Um dos axiomas diz que a soma deve ser comutativa, isto é, para todo u,vinR^3
u + v = v + u
Se encontrarmos vetores u e v tais que u+vneq v+u, concluímos que não é espaço vetorial.

Passo 3

Escolhemos
u=(1,0,0), v=(0,1,0)
Então
u + v = (,1+1,;0+0,;0+0,) = (2,0,0),
enquanto
v + u = (,0+0,;1+1,;0+0,) = (0,2,0)
Como (2,0,0)neq(0,2,0), a soma não é comutativa.

Resposta

Não, R^3 com essa “soma” e essa multiplicação escalar não é espaço vetorial real, pois falha o axioma da comutatividade da soma.

Exercícios relacionados