Você está projetando a suspensão de um carro de corrida de
. As molas têm uma constante total de
. Sua missão é projetar o sistema de amortecedores.
O Amortecimento Crítico: Para o melhor desempenho, você quer que a suspensão retorne ao equilíbrio o mais rápido possível, sem oscilar. Você precisa projetar um sistema criticamente amortecido. Qual é a condição matemática para o amortecimento crítico?
O Amortecimento Crítico: Para o melhor desempenho, você quer que a suspensão retorne ao equilíbrio o mais rápido possível, sem oscilar. Você precisa projetar um sistema criticamente amortecido. Qual é a condição matemática para o amortecimento crítico?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma condição matemática clara:
(massa do carro),
(constante equivalente das molas).
Pergunta: “Qual é a condição matemática para o amortecimento crítico?” — ou seja, qual deve ser o valor do coeficiente de amortecimento (ou a condição em termos da razão de amortecimento) para que o sistema retorne ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar.
Pergunta: “Qual é a condição matemática para o amortecimento crítico?” — ou seja, qual deve ser o valor do coeficiente de amortecimento
Passo 2
Modelagem física e equação do movimento. Para um sistema massa-mola-amortecedor linear unidimensional usamos a equação diferencial
onde:
-
é o deslocamento em função do tempo, -
é a velocidade, -
é a aceleração, -
é o coeficiente de amortecimento (que queremos projetar), -
e são dados do enunciado.
Essa equação descreve oscilações amortecidas; a forma da solução depende de.
Passo 3
Equação característica e solução candidata. Tentamos uma solução do tipo
. Substituindo na EDO obtemos a equação característica
Dividindo por
para trabalhar com coeficientes normalizados:
Passo 4
Raízes da característica e discriminante. As raízes são
O termo dentro da raiz quadrada é o discriminante:
O comportamento do sistema depende do sinal de
:
-
: duas raízes reais distintas (superamortecido), -
: raiz dupla real (criticamente amortecido), -
: raízes complexas conjugadas (subamortecido → oscilações).
Passo 5
Condição matemática para amortecimento crítico. Para amortecimento crítico queremos exatamente a fronteira entre oscilar e não oscilar, isto é
. Assim:
Passo 6
Manipulando a equação para isolar
. Multiplicando por
obtemos
portanto
onde tomamos a raiz positiva porque
é um coeficiente positivo (unidade
, equivalente a
). Outra forma muito usada é em termos da razão de amortecimento
, definida por
A condição de amortecimento crítico fica simplesmente
Passo 7
Aplicando aos números do enunciado (cálculo prático, útil para projetar o amortecedor). Calculemos
e
:
Arredondando para engenharia:
.
Resposta
Para os dados dados: