Um bloco de 500 g é liberado, a partir do repouso, de uma altura h_{0} acima de uma mola vertical com constante elástica \mathrm{k}=200 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e massa desprezível. O bloco se choca com a mola e para momentaneamente depois de comprimir a mola 15,0 \mathrm{~cm}.
(a) Qual é o trabalho realizado pelo bloco sobre a mola e pela mola sobre o bloco?
(b) Qual é o valor de h_{0} ?
(c) Se o bloco fosse solto de uma altura 2,00 h_{0} acima da mola, qual será a máxima compressão da mola?

Passo 1

O enunciado nos dá um bloco de massa m=0,5~\mathrm{kg} solto do repouso a uma altura h_{0} acima de uma mola vertical de constante elástica k=200~\mathrm{N/m}. O bloco comprime a mola de x=15,0~\mathrm{cm}=0,15~\mathrm{m} e para momentaneamente. Vamos usar o teorema da energia mecânica (energia potencial gravitacional e elástica) e também a definição de trabalho para responder às três perguntas.

Passo 2

O trabalho realizado pelo bloco sobre a mola é igual à energia potencial elástica adquirida pela mola:
\Delta U_{\text{mola}} = \tfrac12\,k\,x^2 = \tfrac12\cdot 200\cdot(0,15)^2 = 2{,}25~\mathrm{J}.
Logo,
— trabalho do bloco sobre a mola:
W_{\text{bloco\tomola}} = +2{,}25~\mathrm{J},
— trabalho da mola sobre o bloco é o negativo:
W_{\text{mola\tobloco}} = -2{,}25~\mathrm{J}.

Passo 3

Para achar h_{0}, aplicamos conservação de energia entre o ponto de soltura (energia potencial gravitacional mgh_{0}) e o ponto de máxima compressão (energia elástica mais energia gravitacional perdida mgx):
m g h_{0} = \tfrac12\,k\,x^2 + m g\,x.
Isolando h_{0}:
h_{0} = x + \frac{k\,x^2}{2\,m\,g} = 0{,}15 + \frac{200\cdot(0{,}15)^2}{2\cdot0{,}5\cdot9{,}8} \approx 0{,}61~\mathrm{m}.

Passo 4

Se o bloco fosse solto de altura 2\,h_{0}, a energia inicial seria m g (2h_{0}). Na nova máxima compressão X, teríamos
m g (2h_{0}) = \tfrac12\,k\,X^2 + m g\,X.
Isso dá a equação
\tfrac12\,k\,X^2 + m g\,X - 2\,m g\,h_{0} = 0.
Substituindo k=200, m g=0{,}5\cdot9{,}8=4{,}9 e h_{0}=0{,}609:
100\,X^2 + 4{,}9\,X - 2\cdot4{,}9\cdot0{,}609 = 0 \;\Longrightarrow\; 100\,X^2 + 4{,}9\,X - 5{,}96 = 0.
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara, obtemos a raiz positiva
X \approx 0{,}22~\mathrm{m}.

Resposta

(a) W_{\text{bloco\tomola}} = +2{,}25~\mathrm{J}
\quad e\quad W_{\text{mola\tobloco}} = -2{,}25~\mathrm{J}.
(b) h_{0} \approx 0{,}61~\mathrm{m}.
(c) X \approx 0{,}22~\mathrm{m}.

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