Você já sabe que sumk=1^infty 1k^4 converge. Encontre um valor de n que garanta que o erro na aproximação de sumk=1^infty 1k^4 pela soma parcial sumk=1^n 1k^4 seja menor que 0,001 .

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a série p-série sumk=1^infty 1k^4 pela soma parcial sumk=1^n 1k^4 de modo que o erro Rn=sumk=n+1^infty1k^4 seja menor que 0,001. Isso envolve o conteúdo de séries e estimativa de resto via integral.

Passo 2

Para estimar o resto Rn usamos o teste da integral. Como a função f(x)=1x^4 é positiva, contínua e decrescente para x>=1, vale
Rn=sumk=n+1^infty1k^4<=integraln^infty1x^4,dx

Passo 3

Agora calculamos a integral
integraln^infty1x^4,dx= l[-13x^3r]n^infty= 0-l(-13n^3r)=13n^3

Passo 4

Impondo a condição de erro menor que 0,001, temos
13n^3<0,001

Passo 5

Isso é equivalente a
3n^3>1000 Longrightarrow n^3>10003approx333,3 Longrightarrow n>raiz[3]333,3approx6,94

Passo 6

Como n deve ser inteiro, o menor valor que satisfaz é n=7.

Resposta

7

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