Determine todos os valores de x in R de modo que a série geométrica
3x-12x^3+48x^5-cdots
convirja para 35.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores reais de x tais que a série geométrica
3x-12x^3+48x^5-cdots
converja e seu somatório seja tfrac35. Vamos usar o conteúdo de séries geométricas: condição de convergência |r|<1 e fórmula da soma S=tfraca1-r.

Passo 2

Primeiro identificamos o primeiro termo a e a razão r. O termo geral é obtido multiplicando cada termo pelo mesmo fator. Temos
a=3x,
e a razão
r=-12/x^33/x=-4x^2

Passo 3

Para a série infinita convergir, precisamos de |r|<1. Logo,
|-4x^2|<1
que equivale a
4x^2<1 Longrightarrow x^2>4 Longrightarrow |x|>2

Passo 4

Agora usamos a fórmula da soma de uma série geométrica convergente:
S=a1-r= 3/x1-l(-4/x^2r)= 3/x1+4/x^2= 3/x,(x^2+4)/x^2,= 3xx^2+4

Passo 5

Igualamos ao valor pedido S=tfrac35:
3xx^2+4=35
Multiplicando em cruz:
15x=3,(x^2+4) Longrightarrow 3x^2-15x+12=0 Longrightarrow x^2-5x+4=0
cuja solução é x=1 ou x=4.

Passo 6

Finalmente, verificamos a condição de convergência |x|>2. Entre as soluções encontradas, apenas x=4 satisfaz |x|>2. Portanto, é o único valor real que faz a série convergir para tfrac35.

Resposta

4

Exercícios relacionados