Determine todos os valores de
de modo que a série geométrica
convirja para
.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os valores reais de
tais que a série geométrica
converja e seu somatório seja
. Vamos usar o conteúdo de séries geométricas: condição de convergência
e fórmula da soma
.
Passo 2
Primeiro identificamos o primeiro termo
e a razão
. O termo geral é obtido multiplicando cada termo pelo mesmo fator. Temos
e a razão
Passo 3
Para a série infinita convergir, precisamos de
. Logo,
que equivale a
Passo 4
Agora usamos a fórmula da soma de uma série geométrica convergente:
Passo 5
Igualamos ao valor pedido
S=tfrac35 :
Multiplicando em cruz:
cuja solução é
x=1 ou
x=4 .
Passo 6
Finalmente, verificamos a condição de convergência
|x|>2 . Entre as soluções encontradas, apenas
x=4 satisfaz
|x|>2 . Portanto, é o único valor real que faz a série convergir para
tfrac35 .
Resposta
4