Em um centro de processamento de dados, sabe-se que cerca 80 \% dos programas são escritos em C, e 20 \% em Haskell, e que 20 \% dos programas em C e 40 \% dos programas em Haskell compilam da primeira vez que são testados.
(a) Qual é a probabilidade de que um programa selecionado aleatoriamente compile da primeira vez?
(b) Se um programa selecionado aleatoriamente compilar da primeira vez, qual é a probabilidade de que tenha sido escrito em Haskell?

Passo 1

O enunciado informa que cerca de 80\% dos programas são escritos em C e 20\% em Haskell, e que 20\% dos programas em C e 40\% dos programas em Haskell compilam da primeira vez. Definimos os eventos:
C: programa em C
H: programa em Haskell
A: programa compila da primeira vez
Queremos calcular
(a) P(A)
(b) P(H\mid A)

Passo 2

Pelo Teorema da Probabilidade Total,
P(A)=P\text{(C)}\,P(A\mid C)+P(H)\,P(A\mid H).
Substituindo os valores dados,
P(A)=0,8\cdot0,2 + 0,2\cdot0,4 = 0,16 + 0,08 = 0,24.

Passo 3

Pela fórmula de Bayes,
P(H\mid A) =\frac{P(H)\,P(A\mid H)}{P(A)} =\frac{0,2\cdot0,4}{0,24} =\frac{0,08}{0,24} =\frac{1}{3}\approx0,33.

Resposta

(a) 0,24
(b) \tfrac{1}{3}\approx0,33

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