Você está de pé sobre um ring de patinação no gelo. Despreze seu atrito entre os pés e o gelo. Um amigo joga para você uma bola de 1 kg que se desloca horizontalmente com velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Suponha que sua massa é igual a 70 kg . a) Se você agarra a bola, com que velocidade vocế e a bola se deslocarão logo a seguir? b) Se a bola colide com você, sendo refletida pelo seu peito e adquirindo um velocidade horizontal de 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em sentido oposto ao inicial, qual é a sua velocidade após a colisão? (2 pontos)

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que exatamente o problema pede):
  • Uma bola de massa 1\\ \mathrm{kg} desloca-se horizontalmente com velocidade inicial \;v_{b,i}=10\\ \mathrm{m/s}.
  • Você (a pessoa) tem massa \;m_p=70\\ \mathrm{kg} e está inicialmente em repouso: \;v_{p,i}=0.
  • O gelo é sem atrito (desprezível), logo não há forças externas horizontais importantes durante a interação.
  • Perguntas:
    a) Se você agarra a bola, com que velocidade você e a bola se deslocarão logo a seguir?
    b) Se a bola colide com você e é refletida para trás com velocidade horizontal \;8\\ \mathrm{m/s} no sentido oposto ao inicial, qual é a sua velocidade após a colisão?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Definição de quantidade de movimento (momentum): a quantidade de movimento de um objeto é \;p = m v, onde \;m é a massa (em \mathrm{kg}) e \;v é a velocidade (em \mathrm{m/s}). A unidade de p é \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Conservação da quantidade de movimento: se não há forças externas horizontais significativas (como é o caso com o gelo sem atrito), a quantidade de movimento total do sistema “bola + pessoa” antes do choque é igual à quantidade de movimento total depois do choque:
\text{quantidade de movimento inicial} = \text{quantidade de movimento final}.
  • Como usar na prova: escolha um eixo horizontal e um sentido positivo (aqui vamos tomar o sentido da velocidade inicial da bola como positivo). Escreva a soma dos momenta iniciais e iguale à soma dos momenta finais; resolva para a incógnita.
  • Observação de sinais: se algo fica com velocidade no sentido oposto, representamos com sinal negativo. Sempre seja consistente com o sinal.

Passo 3

Resolvendo a parte (a) — você agarra a bola (colisão completamente inelástica, ficam juntos):
  • Defina variáveis e numéricos: m_b = 1\\ \mathrm{kg},\qquad v_{b,i}=10\\ \mathrm{m/s},
m_p = 70\\ \mathrm{kg},\qquad v_{p,i}=0.
  • Após agarrar, as massas se movem juntas com velocidade final \;v_f. A massa combinada é \;m_b + m_p = 1 + 70 = 71\\ \mathrm{kg}.
  • Aplicando conservação da quantidade de movimento:
m_b v_{b,i} + m_p v_{p,i} = (m_b + m_p)\,v_f.
  • Substituindo números:
1\cdot 10 + 70\cdot 0 = 71\,v_f.
10 = 71\,v_f.
  • Resolva para \;v_f:
v_f = \frac{10}{71}.
  • Calcule a aproximação decimal (útil para prova): divida 10 por 71.
v_f \approx 0,140845\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando razoavelmente (por exemplo, três algarismos significativos):
v_f \approx 0,141\\ \mathrm{m/s},
no mesmo sentido da velocidade inicial da bola (sentido que escolhemos como positivo).

Passo 4

Comentário didático curto sobre (a) para fixar a ideia:
  • Faz sentido: a bola é muito mais leve que você, então ao agarrá-la sua velocidade final é pequena. A fórmula \;v_f=\dfrac{m_b v_{b,i}}{m_b+m_p} é a que sempre uso para colisão onde os dois ficam presos.

Passo 5

Resolvendo a parte (b) — a bola rebate e vai para o sentido oposto com \;8\\ \mathrm{m/s}:
  • Mantenha o mesmo sentido positivo (o sentido da velocidade inicial da bola). Então a velocidade final da bola é negativa:
v_{b,f} = -8\\ \mathrm{m/s}.
  • A quantidade de movimento inicial do sistema é a mesma que antes:
p_i = m_b v_{b,i} + m_p v_{p,i} = 1\cdot 10 + 70\cdot 0 = 10\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Seja \;v_{p,f} a sua velocidade final (o que o problema pede). A quantidade de movimento final é:
p_f = m_b v_{b,f} + m_p v_{p,f}.
  • Pela conservação do momento:
p_i = p_f.
Portanto,
10 = 1\cdot (-8) + 70\,v_{p,f}.
  • Resolva a equação para \;v_{p,f}:
10 = -8 + 70\,v_{p,f}
70\,v_{p,f} = 10 - (-8) = 18
v_{p,f} = \frac{18}{70}.
  • Simplifique a fração:
v_{p,f} = \frac{9}{35}.
  • Calcule a aproximação decimal:
v_{p,f} \approx 0,2571429\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando a três algarismos significativos:
v_{p,f} \approx 0,257\\ \mathrm{m/s},
no sentido positivo (ou seja, no mesmo sentido inicial da bola). Fizemos as contas com sinais consistentes: como a bola reverteu, ela deu impulso positivo a você, aumentando sua velocidade em relação ao caso de agarrar.

Passo 6

Breve comparação entre (a) e (b) — toque intuitivo (útil na prova):
  • No caso (a) a bola fica presa e transfere menos quantidade de movimento para você, dando \approx 0,141\\ \mathrm{m/s}.
  • No caso (b) a bola rebate para trás: o sinal negativo do seu momento final significa que a bola passou uma variação maior de momento para você, então você sai mais rápido, \approx 0,257\\ \mathrm{m/s}.
  • Sempre verifique sinais e unidades; se algo parecer grande demais, cheque cálculo e sinal.

Resposta

v_{\text{(a)}}=\dfrac{10}{71}\\ \mathrm{m/s}\approx 0,141\\ \mathrm{m/s} (no sentido da velocidade inicial da bola)
v_{\text{(b)}}=\dfrac{9}{35}\\ \mathrm{m/s}\approx 0,257\\ \mathrm{m/s} (no sentido da velocidade inicial da bola)

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