5- Você tem um suprimento de discos planos de vidro (
) e uma máquina de polir lentes que podem ser usados para moldar raios de curvatura de 40 ou 60 cm . Você é solicitado a preparar um conjunto de seis lentes, como as da Fig. 4. Qual será a distância focal de cada lente? As lentes formarão uma imagem real ou virtual do Sol? (Nota: quando tiver uma variedade de raios de curvatura, escolha o menor deles).
Passo 1
O enunciado pede que eu prepare um conjunto de seis lentes “como as da Fig. 4” usando discos de vidro com índice de refração
e que posso polir superfícies com raio de curvatura
ou
. A nota diz: quando houver variedade de raios, escolha o menor (ou seja, prefira
).
Informações dadas explicitamente:
Informações dadas explicitamente:
-
. - Raios possíveis:
ou ; regra: escolher o menor, então usaremos sempre que uma superfície curva for necessária.
O que falta / problema prático: a Fig. 4 não foi enviada, portanto não está explícito quais são exatamente os seis formatos de lente solicitados. Como a figura é necessária para determinar as formas (plano-convexa, bicôncava, menisco, etc.), não é possível dar respostas únicas sem assumir que tipos de lente a Fig. 4 contém.
Para avançar sem pedir mais dados (conforme você pediu), vou assumir que os seis tipos são os mais comuns num conjunto didático de lentes:
- Lente biconvexa (simétrica).
- Lente plano-convexa.
- Lente plano-côncava.
- Lente bicôncava (simétrica).
- Menisco convergente (menisco com curvatura que dá poder convergente).
- Menisco divergente (menisco com poder divergente).
Vou usar a regra indicada no enunciado e escolher sempre o menor raio disponível para cada superfície curva:. A seguir explico a teoria necessária e calculo a distância focal de cada uma dessas seis lentes assumidas.
Passo 2
Apresentando a fórmula essencial (a famosa fórmula do fabricante de lentes, para lente delgada em ar):
Aqui:
-
é a distância focal da lente (positiva se a lente é convergente, negativa se divergente). -
é o índice de refração do material da lente (aqui ). -
é o raio de curvatura da face da lente pela qual a luz entra (medido com sinal). -
é o raio de curvatura da face por onde a luz sai (medido com sinal).
Sobre sinais (explicação didática simples): escolhemos a convenção prática comum — luz viaja da esquerda para a direita; para cada superfície, o raioé positivo se o centro de curvatura estiver à direita da superfície e negativo se estiver à esquerda. Essa convenção faz com que uma superfície convexa voltada para a esquerda (protuberante para a esquerda) tenha quando é a primeira face; a segunda face de uma biconvexa terá centro à esquerda, dando . Em muitos casos simétricos dá simplificações úteis, que eu vou usar para evitar confundir sinais com muita notação. O objetivo aqui é obter com passos claros que você consiga reproduzir na prova.
Passo 3
Calculemos um parâmetro útil antes de aplicar casos:
Vou também fixar o raio escolhido por superfície curva como
(pela regra do enunciado).
Agora vamos a cada tipo assumido, com desenho mental do sinal das curvaturas e contas abertas.
Caso A — lente biconvexa (simétrica):
- Para uma biconvexa simétrica, as duas superfícies têm mesmo raio de curvatura em módulo; com a convenção de sinais temos
e .
Substituindo na fórmula:
Com
e
:
Interpretação:
, lente convergente; imagem do Sol (fonte muito distante) será uma imagem real no plano focal a
da lente.
Passo 4
Caso B — lente plano‑convexa:
- Uma face é plana, ou seja
(para a face plana ). Tome a face curva como (convexa para a esquerda).
A fórmula vira:
Com números:
Interpretação:
, lente convergente; imagem real do Sol no plano focal a
.
Passo 5
Caso C — lente plano‑côncava:
- Similar ao plano‑convexa, mas a face curva é côncava em relação ao lado de incidência; para a convenção isso dá
(centro de curvatura à esquerda) e . Substituindo:
Com números:
Interpretação:
, lente divergente; para o Sol (objetos à distância infinita) a lente não forma uma imagem real projetável — forma uma imagem virtual (parece vir de um ponto a
atrás da lente).
Passo 6
Caso D — lente bicôncava (simétrica):
- Duas faces côncavas, com sinais contrários aos da biconvexa:
, . Aplicando a fórmula:
Com números:
Interpretação:
, lente divergente; imagem do Sol será virtual, localizada a
atrás da lente.
Passo 7
Casos E e F — meniscos (convergente e divergente):
- Um menisco tem uma face convexa e outra côncava, mas com curvaturas de módulos diferentes; o sinal do foco depende de qual face domina. O enunciado disse “quando tiver variedade de raios, escolha o menor deles” — então, sem a Fig. 4, a escolha natural é fixar os raios das superfícies curvas no menor valor disponível:
. Se ambas as curvaturas tiverem módulo e sinais opostos isso reduz matematicamente a um caso equivalente a biconvexa ou bicôncava dependendo da orientação, mas o tipo menisco pressupõe que uma curvatura seja menos forte (maior raio) que a outra. Como não temos esses detalhes, vou apresentar duas interpretações simples e educativas que seguem a regra de escolher o menor raio quando houver variedade:
Interpretação 1 (escolha conservadora: usar o menor raio para a superfície “mais curva” e achar a outra superfície com raio maior suficiente para definir o tipo menisco): suponha uma menisco convergente onde a face convexa é bem mais curvada (pequeno
) e a face côncava é pouco curvada (maior
). Pela regra usaremos
e
. Tomemos
(convexa na entrada) e
(côncava na saída). Então:
Calcule:
Logo
Isso dá um menisco convergente com
(imagem do Sol real).
Interpretação 2 (menisco divergente): trocando orientação
e
(a face côncava mais curva), temos
mas o sinal final dependerá da ordem de sinais; com a convenção escolhida acima esse caso também dá convergência numérica igual — a diferença é a orientação física. No entanto, se a face côncava dominar (curvatura maior) o resultado pode virar negativo; sem a figura não dá para dizer com certeza. Por isso a Interpretação 1 (convexo mais curvado e côncavo menos curvado) é a escolha natural para um menisco convergente e a Interpretação simétrica inversa produziria um menisco divergente de
.
Resumo prático dada a ambiguidade da Fig. 4: vou adotar para os dois meniscos os valores típicos obtidos assumindo superfícies de raios
e
(e a regra do enunciado para escolher o menor quando houver variedade), o que dá
para o menisco convergente e
para o menisco divergente dependendo da orientação escolhida. O ponto importante: meniscos ficam entre os valores dos casos plano‑convexo e biconvexa em magnitude.
Passo 8
Interpretação física final sobre imagem do Sol: o Sol é essencialmente um objeto no infinito; lentes convergentes (
) formarão uma imagem real no plano focal à distância
da lente — portanto essa imagem pode ser projetada em uma tela. Lentes divergentes (
) formam imagens virtuais do Sol (não projetáveis) situadas a uma distância
atrás da lente se se olhar pela direção da luz que sai.
Resposta
Biconvexa (simétrica,
):
— imagem real.
Plano‑convexa ( ):
— imagem real.
Plano‑côncava ( ):
— imagem virtual.
Bicôncava (simétrica, ):
— imagem virtual.
Menisco convergente (assumindo ):
— imagem real.
Menisco divergente (orientação oposta, assumindo ):
— imagem virtual.
Plano‑convexa (
Plano‑côncava (
Bicôncava (simétrica,
Menisco convergente (assumindo
Menisco divergente (orientação oposta, assumindo