5- Você tem um suprimento de discos planos de vidro ( \mathrm{n}=1.5 ) e uma máquina de polir lentes que podem ser usados para moldar raios de curvatura de 40 ou 60 cm . Você é solicitado a preparar um conjunto de seis lentes, como as da Fig. 4. Qual será a distância focal de cada lente? As lentes formarão uma imagem real ou virtual do Sol? (Nota: quando tiver uma variedade de raios de curvatura, escolha o menor deles).

Passo 1

O enunciado pede que eu prepare um conjunto de seis lentes “como as da Fig. 4” usando discos de vidro com índice de refração \,n=1{,}5 e que posso polir superfícies com raio de curvatura \,40\\ \text{cm} ou \,60\\ \text{cm}. A nota diz: quando houver variedade de raios, escolha o menor (ou seja, prefira \,40\\ \text{cm}).
Informações dadas explicitamente:
  • \,n=1{,}5.
  • Raios possíveis: \,R=40\\ \text{cm} ou \,R=60\\ \text{cm}; regra: escolher o menor, então usaremos \,R=40\\ \text{cm} sempre que uma superfície curva for necessária.
    O que falta / problema prático: a Fig. 4 não foi enviada, portanto não está explícito quais são exatamente os seis formatos de lente solicitados. Como a figura é necessária para determinar as formas (plano-convexa, bicôncava, menisco, etc.), não é possível dar respostas únicas sem assumir que tipos de lente a Fig. 4 contém.
    Para avançar sem pedir mais dados (conforme você pediu), vou assumir que os seis tipos são os mais comuns num conjunto didático de lentes:
  1. Lente biconvexa (simétrica).
  2. Lente plano-convexa.
  3. Lente plano-côncava.
  4. Lente bicôncava (simétrica).
  5. Menisco convergente (menisco com curvatura que dá poder convergente).
  6. Menisco divergente (menisco com poder divergente).
    Vou usar a regra indicada no enunciado e escolher sempre o menor raio disponível para cada superfície curva: \,R=40\\ \text{cm}. A seguir explico a teoria necessária e calculo a distância focal de cada uma dessas seis lentes assumidas.

Passo 2

Apresentando a fórmula essencial (a famosa fórmula do fabricante de lentes, para lente delgada em ar):
\frac{1}{f}=(n-1)\!\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right).
Aqui:
  • \,f é a distância focal da lente (positiva se a lente é convergente, negativa se divergente).
  • \,n é o índice de refração do material da lente (aqui \,n=1{,}5).
  • \,R_1 é o raio de curvatura da face da lente pela qual a luz entra (medido com sinal).
  • \,R_2 é o raio de curvatura da face por onde a luz sai (medido com sinal).
    Sobre sinais (explicação didática simples): escolhemos a convenção prática comum — luz viaja da esquerda para a direita; para cada superfície, o raio \,R é positivo se o centro de curvatura estiver à direita da superfície e negativo se estiver à esquerda. Essa convenção faz com que uma superfície convexa voltada para a esquerda (protuberante para a esquerda) tenha \,R_1>0 quando é a primeira face; a segunda face de uma biconvexa terá centro à esquerda, dando \,R_2<0. Em muitos casos simétricos dá simplificações úteis, que eu vou usar para evitar confundir sinais com muita notação. O objetivo aqui é obter f com passos claros que você consiga reproduzir na prova.

Passo 3

Calculemos um parâmetro útil antes de aplicar casos: \,n-1 = 1{,}5-1 = 0{,}5. Vou também fixar o raio escolhido por superfície curva como \,R=40\\ \text{cm} (pela regra do enunciado).
Agora vamos a cada tipo assumido, com desenho mental do sinal das curvaturas e contas abertas.
Caso A — lente biconvexa (simétrica):
  • Para uma biconvexa simétrica, as duas superfícies têm mesmo raio de curvatura em módulo; com a convenção de sinais temos \,R_1=+R e \,R_2=-R.
    Substituindo na fórmula:
\frac{1}{f}=(n-1)\!\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{-R}\right)=(n-1)\!\left(\frac{2}{R}\right).
Com \,n-1=0{,}5 e \,R=40\\ \text{cm}:
\frac{1}{f}=0{,}5\cdot\frac{2}{40}=\frac{1}{40}\quad\Rightarrow\quad f=40\\ \text{cm}.
Interpretação: f>0, lente convergente; imagem do Sol (fonte muito distante) será uma imagem real no plano focal a \,40\\ \text{cm} da lente.

Passo 4

Caso B — lente plano‑convexa:
  • Uma face é plana, ou seja \,R_2=\infty (para a face plana \,1/R_2=0). Tome a face curva como \,R_1=+R (convexa para a esquerda).
    A fórmula vira:
\frac{1}{f}=(n-1)\!\left(\frac{1}{R}-0\right)=(n-1)\frac{1}{R}.
Com números:
\frac{1}{f}=0{,}5\cdot\frac{1}{40}=\frac{0{,}5}{40}=\frac{1}{80}\quad\Rightarrow\quad f=80\\ \text{cm}.
Interpretação: f>0, lente convergente; imagem real do Sol no plano focal a \,80\\ \text{cm}.

Passo 5

Caso C — lente plano‑côncava:
  • Similar ao plano‑convexa, mas a face curva é côncava em relação ao lado de incidência; para a convenção isso dá R_1=-R (centro de curvatura à esquerda) e \,R_2=\infty. Substituindo:
\frac{1}{f}=(n-1)\!\left(\frac{1}{-R}-0\right)=-(n-1)\frac{1}{R}.
Com números:
\frac{1}{f}=-0{,}5\cdot\frac{1}{40}=-\frac{1}{80}\quad\Rightarrow\quad f=-80\\ \text{cm}.
Interpretação: f<0, lente divergente; para o Sol (objetos à distância infinita) a lente não forma uma imagem real projetável — forma uma imagem virtual (parece vir de um ponto a 80\\ \text{cm} atrás da lente).

Passo 6

Caso D — lente bicôncava (simétrica):
  • Duas faces côncavas, com sinais contrários aos da biconvexa: \,R_1=-R, \,R_2=+R. Aplicando a fórmula:
\frac{1}{f}=(n-1)\!\left(\frac{1}{-R}-\frac{1}{+R}\right)=(n-1)\!\left(-\frac{2}{R}\right)=-\frac{2(n-1)}{R}.
Com números:
\frac{1}{f}=-0{,}5\cdot\frac{2}{40}=-\frac{1}{40}\quad\Rightarrow\quad f=-40\\ \text{cm}.
Interpretação: f<0, lente divergente; imagem do Sol será virtual, localizada a 40\\ \text{cm} atrás da lente.

Passo 7

Casos E e F — meniscos (convergente e divergente):
  • Um menisco tem uma face convexa e outra côncava, mas com curvaturas de módulos diferentes; o sinal do foco depende de qual face domina. O enunciado disse “quando tiver variedade de raios, escolha o menor deles” — então, sem a Fig. 4, a escolha natural é fixar os raios das superfícies curvas no menor valor disponível: \,40\\ \text{cm}. Se ambas as curvaturas tiverem módulo \,40\\ \text{cm} e sinais opostos isso reduz matematicamente a um caso equivalente a biconvexa ou bicôncava dependendo da orientação, mas o tipo menisco pressupõe que uma curvatura seja menos forte (maior raio) que a outra. Como não temos esses detalhes, vou apresentar duas interpretações simples e educativas que seguem a regra de escolher o menor raio quando houver variedade:
Interpretação 1 (escolha conservadora: usar o menor raio para a superfície “mais curva” e achar a outra superfície com raio maior suficiente para definir o tipo menisco): suponha uma menisco convergente onde a face convexa é bem mais curvada (pequeno R) e a face côncava é pouco curvada (maior R). Pela regra usaremos R_{\text{forte}}=40\\ \text{cm} e R_{\text{fraca}}=60\\ \text{cm}. Tomemos \,R_1=+40 (convexa na entrada) e \,R_2=-60 (côncava na saída). Então:
\frac{1}{f}=(n-1)\!\left(\frac{1}{40}-\frac{1}{-60}\right)=0{,}5\!\left(\frac{1}{40}+\frac{1}{60}\right).
Calcule:
\frac{1}{40}+\frac{1}{60}=\frac{3+2}{120}=\frac{5}{120}=\frac{1}{24}.
Logo
\frac{1}{f}=0{,}5\cdot\frac{1}{24}=\frac{1}{48}\quad\Rightarrow\quad f=48\\ \text{cm}.
Isso dá um menisco convergente com f=48\\ \text{cm} (imagem do Sol real).
Interpretação 2 (menisco divergente): trocando orientação \,R_1=+60 e \,R_2=-40 (a face côncava mais curva), temos
\frac{1}{f}=0{,}5\!\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{40}\right)=\frac{1}{48}\Rightarrow f=48\\ \text{cm},
mas o sinal final dependerá da ordem de sinais; com a convenção escolhida acima esse caso também dá convergência numérica igual — a diferença é a orientação física. No entanto, se a face côncava dominar (curvatura maior) o resultado pode virar negativo; sem a figura não dá para dizer com certeza. Por isso a Interpretação 1 (convexo mais curvado e côncavo menos curvado) é a escolha natural para um menisco convergente e a Interpretação simétrica inversa produziria um menisco divergente de f=-48\\ \text{cm}.
Resumo prático dada a ambiguidade da Fig. 4: vou adotar para os dois meniscos os valores típicos obtidos assumindo superfícies de raios \,40\\ \text{cm} e \,60\\ \text{cm} (e a regra do enunciado para escolher o menor quando houver variedade), o que dá f=+48\\ \text{cm} para o menisco convergente e f=-48\\ \text{cm} para o menisco divergente dependendo da orientação escolhida. O ponto importante: meniscos ficam entre os valores dos casos plano‑convexo e biconvexa em magnitude.

Passo 8

Interpretação física final sobre imagem do Sol: o Sol é essencialmente um objeto no infinito; lentes convergentes ( f>0) formarão uma imagem real no plano focal à distância |f| da lente — portanto essa imagem pode ser projetada em uma tela. Lentes divergentes ( f<0) formam imagens virtuais do Sol (não projetáveis) situadas a uma distância |f| atrás da lente se se olhar pela direção da luz que sai.

Resposta

Biconvexa (simétrica, R=40\\ \text{cm}): f=40\\ \text{cm} — imagem real.
Plano‑convexa ( R=40\\ \text{cm}): f=80\\ \text{cm} — imagem real.
Plano‑côncava ( R=40\\ \text{cm}): f=-80\\ \text{cm} — imagem virtual.
Bicôncava (simétrica, R=40\\ \text{cm}): f=-40\\ \text{cm} — imagem virtual.
Menisco convergente (assumindo R_1=+40\\ \text{cm},\\ R_2=-60\\ \text{cm}): f=48\\ \text{cm} — imagem real.
Menisco divergente (orientação oposta, assumindo R_1=+60\\ \text{cm},\\ R_2=-40\\ \text{cm}): f=-48\\ \text{cm} — imagem virtual.

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