Mostre que a transformada de Fourier de uma função Gaussiana
, com desvio padrão
e centralizada em
, é também uma função Gaussiana e mostre a relação entre os desvios padrão das duas funções.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras e simples:
- Mostrar que a transformada de Fourier da função
é também uma função Gaussiana.
- Mostrar a relação entre os desvios padrão (larguras) da função original e da sua transformada.
Informações dadas que vamos usar:
- A função
é a Gaussiana com média e desvio padrão . - Não foi especificada a convenção da transformada de Fourier no enunciado; vou escolher uma convenção explícita no próximo passo (é importante porque a relação numérica entre os desvios depende da convenção).
Passo 2
Escolho a convenção da transformada de Fourier mais comum em análise matemática/ física sem fatores de normalização na integral direta:
Justificativa curta: essa convenção é simples e direta; com ela a transformada de uma Gaussiana normalizada tem forma muito limpa (uma Gaussiana multiplicada por um fator de fase). Se outro livro usar fatores
ou
, a forma geral (Gaussiana → Gaussiana) permanece, mas a constante de normalização muda; a relação essencial entre as larguras (inversão) também muda por um fator que pode ser rastreado facilmente.
Passo 3
Escrevo a integral da transformada usando a função fornecida:
Explicando cada termo:
-
é a variável da função original. -
é a variável da transformada (frequência espacial). - O fator
normaliza para .
Passo 4
Faço a mudança de variável de translação para eliminar
: defina
. Então
e
. Substituindo na integral:
Posso separar o fator que depende de
:
Passo 5
Agora vou manipular o expoente dentro da integral completando quadrado. Escrevo o expoente como:
Complete o quadrado na expressão
:
Observe que
. Portanto
Reescrevendo a integral com isso:
O fator
é independente de
, então sai da integral:
Passo 6
Avalio a integral gaussiana deslocada no plano complexo. A integral padrão real é
Para o caso com deslocamento complexo
, a integral ao longo da reta real do integrando analítico não muda de valor por contorno (analiticidade e decaimento garantem que a translação no eixo imaginário não altera o resultado), portanto
(Comentário leve: essa é a continuação analítica da integral gaussiana; para quem preferir, pode pensar que é equivalente a uma translação da variável de integração que preserva a integral.)
Substituindo de volta:
Perceba que eu tenho um sinal errado no expoente positivo; vamos revisar sinal: voltando ao passo da completude do quadrado, havia
Mas note que no integrando original tínhamos exatamente
, então este último termo com sinal positivo aparece dentro do integrando — ao fatorar para fora, o sinal fica: o fator que sai é
. No entanto, isso contradiz a expectativa física de que a transformada decai em
. Acontece que, ao completar o quadrado corretamente, o sinal final deve ser negativo; então refaço a identificação com cuidado:
Refazendo rapidamente (sem pular etapas): partimos de
Complete o quadrado:
porque
. Portanto
Agora o sinal do último termo é negativo — isso é o que esperávamos. Com isso,
Portanto ao extrair o fator independente de
obtém-se
.
Assim a integral fica
Usando novamente que a integral deslocada vale
, obtemos finalmente
Passo 7
Interpretação do resultado:
- A presença de
é apenas um fator de fase que corresponde ao deslocamento na posição (propriedade de deslocamento da transformada de Fourier). - A parte que depende de
é
ou seja, é uma Gaussiana centrada em
com desvio padrão em
igual a
.
Portanto a transformada é (até o fator de fase) uma Gaussiana cuja largura é o inverso da largura original.
Passo 8
Conclusão e comentário final:
- A forma explícita da transformada (na convenção escolhida) é
- A relação entre os desvios padrão é
Comentário extra para não perder pontos na prova: se usar uma convenção de Fourier com fatores
(por exemplo
ou outras), a transformada continua sendo Gaussiana mas a constante de normalização muda e a relação numérica entre
e
pode adquirir fatores de
; o resultado essencial — que as larguras se “invertem” — permanece.