Você está tentando observar a Estação Espacial Internacional, que viaja em uma órbita praticamente circular em torno da Terra. Se ela está a uma altitude de 385 Km acima da superfície da Terra, quanto tempo você terá que esperar entre duas órbitas consecutivas ?
Passo 1
O enunciado pede: “Se a Estação Espacial Internacional está a uma altitude de
acima da superfície da Terra, quanto tempo você terá que esperar entre duas órbitas consecutivas?”
Informações dadas e meta:
Informações dadas e meta:
- Altitude da ISS:
. - Queremos o tempo entre duas órbitas consecutivas, ou seja, o período orbital
(tempo que a estação leva para dar uma volta completa ao redor da Terra).
Não vamos assumir mais nada além disso; a resolução começa a seguir.
Passo 2
Conceito físico e fórmula usada (explicada passo a passo).
Para uma órbita praticamente circular a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta necessária. Isso nos leva à igualdade entre a força gravitacional e a força centrípeta:
Para uma órbita praticamente circular a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta necessária. Isso nos leva à igualdade entre a força gravitacional e a força centrípeta:
onde:
-
é a constante gravitacional universal ( aparece sempre multiplicado por no valor prático que usamos), -
é a massa da Terra, -
é a massa da estação (cancela na equação), -
é a distância do centro da Terra até a estação (ou seja, raio da órbita), -
é a velocidade orbital (velocidade tangencial).
Da igualdade acima cancelamose obtemos
O período orbital
(tempo para dar uma volta) é o comprimento da órbita dividido pela velocidade:
Substituindo
obtemos a forma prática (Lei de Kepler em forma dinâmica):
Aqui
é frequentemente chamado de parâmetro gravitacional da Terra e denotado por
. Vou usar
porque é o valor que encontramos em tabelas.
Passo 3
Valores numéricos e conversões (explico por que escolhi cada valor).
- Raio médio da Terra (valor padrão usado):
. Escolhi o raio médio porque é o valor padrão para estimativas de órbitas baixas. - Altitude dada:
.
Logo o raio da órbita é
Converter para metros (unidade do parâmetro gravitacional):
Parâmetro gravitacional da Terra (valor padrão de tabela):
Passo 4
Cálculo numérico do período passo a passo.
Calcule :
Calcule
Agora calcule o quociente
:
Tire a raiz quadrada e multiplique por
:
Passo 5
Conversões finais para unidades mais compreensíveis e interpretação.
Converter para minutos:
Converter para minutos:
Em horas:
Interpretação rápida: isso significa que, estando fixo num local, você veria a ISS fazer uma volta completa em torno da Terra a cada aproximadamente
minutos — por isso ela passa várias vezes por dia sobre diferentes regiões.
Passo 6
Recapitulando com empolgação (você já chegou lá!): usando a fórmula derivada da igualdade entre força gravitacional e força centrípeta e os valores padrão para o raio da Terra e o parâmetro gravitacional, obtemos um período da ordem de
minutos — que é o valor conhecido e esperado para satélites em órbita baixa como a ISS. Boa notícia: o resultado bate com a prática (a ISS realmente completa cerca de 15,5 órbitas por dia).