Você está tentando observar a Estação Espacial Internacional, que viaja em uma órbita praticamente circular em torno da Terra. Se ela está a uma altitude de 385 Km acima da superfície da Terra, quanto tempo você terá que esperar entre duas órbitas consecutivas ?

Passo 1

O enunciado pede: “Se a Estação Espacial Internacional está a uma altitude de 385\\ \text{km} acima da superfície da Terra, quanto tempo você terá que esperar entre duas órbitas consecutivas?”
Informações dadas e meta:
  • Altitude da ISS: h=385\\ \text{km}.
  • Queremos o tempo entre duas órbitas consecutivas, ou seja, o período orbital T (tempo que a estação leva para dar uma volta completa ao redor da Terra).
    Não vamos assumir mais nada além disso; a resolução começa a seguir.

Passo 2

Conceito físico e fórmula usada (explicada passo a passo).
Para uma órbita praticamente circular a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta necessária. Isso nos leva à igualdade entre a força gravitacional e a força centrípeta:
\frac{G M m}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r},
onde:
  • G é a constante gravitacional universal ( G aparece sempre multiplicado por M no valor prático que usamos),
  • M é a massa da Terra,
  • m é a massa da estação (cancela na equação),
  • r é a distância do centro da Terra até a estação (ou seja, raio da órbita),
  • v é a velocidade orbital (velocidade tangencial).
    Da igualdade acima cancelamos m e obtemos
v^{2}=\frac{G M}{r}.
O período orbital T (tempo para dar uma volta) é o comprimento da órbita dividido pela velocidade:
T=\frac{2\pi r}{v}.
Substituindo v obtemos a forma prática (Lei de Kepler em forma dinâmica):
T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{G M}}.
Aqui G M é frequentemente chamado de parâmetro gravitacional da Terra e denotado por \mu. Vou usar \mu=G M porque é o valor que encontramos em tabelas.

Passo 3

Valores numéricos e conversões (explico por que escolhi cada valor).
  • Raio médio da Terra (valor padrão usado): R_{E}=6371\\ \text{km}. Escolhi o raio médio porque é o valor padrão para estimativas de órbitas baixas.
  • Altitude dada: h=385\\ \text{km}.
    Logo o raio da órbita é
r = R_{E}+h = 6371\\ \text{km} + 385\\ \text{km} = 6756\\ \text{km}.
Converter para metros (unidade do parâmetro gravitacional):
r = 6756\\ \text{km} = 6756\times 10^{3}\\ \text{m} = 6{,}756\times 10^{6}\\ \text{m}.
Parâmetro gravitacional da Terra (valor padrão de tabela):
\mu = G M = 3{,}986004418\times 10^{14}\\ \text{m}^{3}\!/\text{s}^{2}.

Passo 4

Cálculo numérico do período passo a passo.
Calcule r^{3}:
r^{3} = (6{,}756\times10^{6}\\ \text{m})^{3} \approx 3{,}083677292\times10^{20}\\ \text{m}^{3}.
Agora calcule o quociente r^{3}/\mu:
\frac{r^{3}}{\mu} \approx \frac{3{,}083677292\times10^{20}}{3{,}986004418\times10^{14}} \approx 7{,}73612\times10^{5}\\ \text{s}^{2}.
Tire a raiz quadrada e multiplique por 2\pi:
\sqrt{\frac{r^{3}}{\mu}} \approx \sqrt{7{,}73612\times10^{5}}\\ \text{s} \approx 879{,}57\\ \text{s},
T = 2\pi \times 879{,}57\\ \text{s} \approx 5{,}526{,}4\\ \text{s}.

Passo 5

Conversões finais para unidades mais compreensíveis e interpretação.
Converter para minutos:
T \approx \frac{5{,}526{,}4\\ \text{s}}{60} \approx 92{,}11\\ \text{min}.
Em horas:
T \approx 1{,}53\\ \text{h} \quad(\text{aprox. }1\\ \text{h }32\\ \text{min }6\\ \text{s}).
Interpretação rápida: isso significa que, estando fixo num local, você veria a ISS fazer uma volta completa em torno da Terra a cada aproximadamente 92 minutos — por isso ela passa várias vezes por dia sobre diferentes regiões.

Passo 6

Recapitulando com empolgação (você já chegou lá!): usando a fórmula derivada da igualdade entre força gravitacional e força centrípeta e os valores padrão para o raio da Terra e o parâmetro gravitacional, obtemos um período da ordem de 92 minutos — que é o valor conhecido e esperado para satélites em órbita baixa como a ISS. Boa notícia: o resultado bate com a prática (a ISS realmente completa cerca de 15,5 órbitas por dia).

Resposta

\displaystyle T\approx 5{,}526{,}4\\ \text{s}\approx 92{,}11\\ \text{min}\approx 1{,}53\\ \text{h}

Exercícios relacionados