Uma fonte CA (de perfil senoidal) fornece uma tensão alternada de frequẽncia f=60 \mathrm{~Hz} a um resistor de resistência R=2,7 \mathrm{k} \Omega. Qual deve ser a amplitude da tensão se temos como objetivo fazer o resistor dissipar a mesma potência média se a fonte fosse substituida por uma fonte de tensão CC de 1,3 \mathrm{~V}.
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a amplitude da tensão senoidal (ou seja, o valor de pico) que deve ter uma fonte CA para que o resistor dissipe a mesma potência média que ele dissipa quando alimentado por uma fonte CC de 1,3\\ \mathrm{V}.
Informações dadas:
f = 60\\ \mathrm{Hz}
R = 2{,}7\\ \mathrm{k\Omega}
V_{\text{CC}} = 1{,}3\\ \mathrm{V}
O que se deve encontrar: a amplitude (valor de pico) da tensão senoidal V_m que faz a potência média em R ser igual à potência com V_{\text{CC}}=1{,}3\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Conceito necessário 1 — potência instantânea e potência média num resistor: se a tensão instantânea no resistor é v(t), a potência instantânea dissipada é
p(t)=\frac{v(t)^2}{R}.
A potência média (sobre um período, no caso de sinal periódico) é a média temporal de p(t) ao longo de um período T:
P_{\text{média}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} p(t)\,dt = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{v(t)^2}{R}\,dt.é
Para uma fonte CC de tensão V_{\text{CC}} a tensão é constante, então a potência é simplesmente
P_{\text{CC}}=\frac{V_{\text{CC}}^2}{R}.

Passo 3

Conceito necessário 2 — tensão senoidal e valor RMS: para uma tensão senoidal de amplitude (pico) V_m escrita como
v(t)=V_m\sin(\omega t),
a potência média no resistor é
P_{\text{CA}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{V_m^2\sin^2(\omega t)}{R}\,dt.
Sabemos que a média de \sin^2(\omega t) sobre um período é \tfrac{1}{2}. Portanto
P_{\text{CA}}=\frac{V_m^2}{R}\cdot\frac{1}{2}=\frac{V_m^2}{2R}.
Alternativamente, usando o conceito de valor eficaz (RMS), V_{\text{rms}}=V_m/\sqrt{2} e P_{\text{CA}}=V_{\text{rms}}^2/R, que leva ao mesmo resultado. (Repare que a frequência \omega não aparece no resultado final para um resistor puro.)

Passo 4

Igualando as potências média (CA) e a potência com CC queremos
P_{\text{CA}} = P_{\text{CC}}.
Substituindo as fórmulas:
\frac{V_m^2}{2R} = \frac{V_{\text{CC}}^2}{R}.
Cancelar R dos dois lados e rearranjar para V_m:
\frac{V_m^2}{2} = V_{\text{CC}}^2 \quad\Longrightarrow\quad V_m^2 = 2\,V_{\text{CC}}^2.
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V_m = \sqrt{2}\,V_{\text{CC}}.

Passo 5

Aplicando o valor numérico V_{\text{CC}}=1{,}3\\ \mathrm{V}:
V_m = \sqrt{2}\times 1{,}3\\ \mathrm{V} = \frac{13}{10}\sqrt{2}\\ \mathrm{V}.
Calculando aproximadamente usando \sqrt{2}\approx 1{,}414:
V_m \approx 1{,}3\times 1{,}414 \approx 1{,}84\\ \mathrm{V}.
Observação amiga: o valor da resistência e a frequência não entraram no resultado final porque a potência média de uma senóide em um resistor depende só da amplitude via V_m^2/(2R); o R cancela ao igualarmos com a potência DC.

Resposta

\,1{,}84\\ \mathrm{V}

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