Depois que vocês me abandonaram na sala, coletei uns dados, que podem ser analisados mesmo por quem não conseguiu participar da aula, basta aplicar o que sabemos sobre força de Lorentz… No experimento, os elétrons emitidos por um filamento aquecido foram acelerados por uma DDP de 195 V , movendo-se verticalmente para cima a partir do filamento e utilizou-se uma bobina de Helmholtz com 154 espiras, 20 cm de raio e percorrida por uma corrente de 2,0 A. Nessa configuração os elétrons descreveram uma trajetória com 30 mm de raio. Com os dados fornecidos, determine a razão carga massa
dos elétrons e , usando o valor da massa do elétron
, calcule a carga do elétron e discuta brevemente o valor obtido.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que vamos precisar para resolver. A gente tem elétrons que são acelerados por uma diferença de potencial de 195 V e acabam se movendo numa trajetória circular com raio de 30 mm dentro de uma bobina de Helmholtz. Queremos encontrar a razão carga/massa
dos elétrons e, sabendo a massa do elétron, calcular a carga dele. Para isso, vamos usar conceitos de força de Lorentz e movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os elétrons ganham velocidade ao serem acelerados pela diferença de potencial (DDP). A energia que eles recebem é igual à energia elétrica fornecida pela DDP. A gente pode expressar isso pela fórmula:
Onde:
-
é a carga do elétron, -
é a diferença de potencial (195 V), -
é a massa do elétron, -
é a velocidade dos elétrons.
Passo 3
Agora, vamos relacionar essa velocidade com a trajetória circular que os elétrons fazem no campo magnético da bobina de Helmholtz. A força magnética que atua sobre o elétron é dada pela força de Lorentz:
Essa força é centrípeta, ou seja, mantém o elétron na trajetória circular. A força centrípeta também pode ser expressa como:
Onde
é o raio da trajetória (30 mm ou 0,03 m).
Passo 4
Igualando as duas expressões para a força, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Isolando a razão
:
Passo 5
Mas ainda precisamos encontrar a velocidade
dos elétrons. Voltando à primeira equação:
Isolando
:
Agora, vamos substituir essa expressão na equação da razão
:
Passo 6
Para prosseguir, precisamos calcular o campo magnético
da bobina de Helmholtz. A fórmula para o campo magnético no centro de uma bobina de Helmholtz é:
Mas essa fórmula é um pouco complexa. Uma simplificação comum para bobinas de Helmholtz é:
Onde:
-
é a permeabilidade do vácuo ( ), -
é o número de espiras (154), -
é a corrente (2,0 A), -
é o raio da bobina (20 cm ou 0,2 m).
Passo 7
Vamos calcular o campo magnético
:
Primeiro, calculamos o denominador:
Então:
Calculando isso:
Passo 8
Agora que temos
, vamos calcular a velocidade
usando a equação da energia:
Mas, como queremos
, vamos voltar à expressão da razão:
Substituindo
por
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para facilitar:
Simplificando:
Passo 9
Agora, podemos substituir os valores na fórmula:
Calculando o denominador:
Então:
Resposta
A razão carga/massa dos elétrons é aproximadamente
. Sabendo que a massa do elétron é
, a carga do elétron calcula-se assim:
Esse valor está bem próximo do valor real da carga do elétron, que é aproximadamente
. A discrepância pode ser devido a aproximações e simplificações feitas nos cálculos.