Depois que vocês me abandonaram na sala, coletei uns dados, que podem ser analisados mesmo por quem não conseguiu participar da aula, basta aplicar o que sabemos sobre força de Lorentz… No experimento, os elétrons emitidos por um filamento aquecido foram acelerados por uma DDP de 195 V , movendo-se verticalmente para cima a partir do filamento e utilizou-se uma bobina de Helmholtz com 154 espiras, 20 cm de raio e percorrida por uma corrente de 2,0 A. Nessa configuração os elétrons descreveram uma trajetória com 30 mm de raio. Com os dados fornecidos, determine a razão carga massa (e/m) dos elétrons e , usando o valor da massa do elétron (9,1 times 10^-31 kg), calcule a carga do elétron e discuta brevemente o valor obtido.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que vamos precisar para resolver. A gente tem elétrons que são acelerados por uma diferença de potencial de 195 V e acabam se movendo numa trajetória circular com raio de 30 mm dentro de uma bobina de Helmholtz. Queremos encontrar a razão carga/massa (e/m) dos elétrons e, sabendo a massa do elétron, calcular a carga dele. Para isso, vamos usar conceitos de força de Lorentz e movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os elétrons ganham velocidade ao serem acelerados pela diferença de potencial (DDP). A energia que eles recebem é igual à energia elétrica fornecida pela DDP. A gente pode expressar isso pela fórmula:
e cdot V = 12 m v^2
Onde:
  • e é a carga do elétron,
  • V é a diferença de potencial (195 V),
  • m é a massa do elétron,
  • v é a velocidade dos elétrons.

Passo 3

Agora, vamos relacionar essa velocidade com a trajetória circular que os elétrons fazem no campo magnético da bobina de Helmholtz. A força magnética que atua sobre o elétron é dada pela força de Lorentz:
F = e cdot v cdot B
Essa força é centrípeta, ou seja, mantém o elétron na trajetória circular. A força centrípeta também pode ser expressa como:
F = m cdot v^2r
Onde r é o raio da trajetória (30 mm ou 0,03 m).

Passo 4

Igualando as duas expressões para a força, temos:
e cdot v cdot B = m cdot v^2r
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por v:
e cdot B = m cdot vr
Isolando a razão em:
em = vB cdot r

Passo 5

Mas ainda precisamos encontrar a velocidade v dos elétrons. Voltando à primeira equação:
e cdot V = 12 m v^2
Isolando v:
v = raiz2 cdot e cdot Vm
Agora, vamos substituir essa expressão na equação da razão em:
em = raiz2 cdot e cdot VmB cdot r

Passo 6

Para prosseguir, precisamos calcular o campo magnético B da bobina de Helmholtz. A fórmula para o campo magnético no centro de uma bobina de Helmholtz é:
Mas essa fórmula é um pouco complexa. Uma simplificação comum para bobinas de Helmholtz é:
B = (8 cdot mu0 cdot N cdot Iraiz125 cdot R)
Onde:
  • B = 8 cdot mu0 cdot N cdot Iraiz125 cdot R é a permeabilidade do vácuo ( mu0),
  • 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A é o número de espiras (154),
  • N é a corrente (2,0 A),
  • I é o raio da bobina (20 cm ou 0,2 m).

Passo 7

Vamos calcular o campo magnético B:
B = 8 cdot (4pi times 10^-7) cdot 154 cdot 2,0raiz125 cdot 0,2
Primeiro, calculamos o denominador:
raiz125 approx 11,18
Então:
B = 8 cdot 4pi times 10^-7 cdot 154 cdot 2,011,18 cdot 0,2
Calculando isso:
B approx 8 cdot 4 cdot 3,1416 times 10^-7 cdot 154 cdot 22,236
B approx 8 cdot 12,5664 times 10^-7 cdot 3082,236
B approx 3090,2 times 10^-72,236
B approx 1,38 times 10^-4 , T

Passo 8

Agora que temos B, vamos calcular a velocidade v usando a equação da energia:
v = raiz2 cdot e cdot Vm
Mas, como queremos em, vamos voltar à expressão da razão:
em = vB cdot r
Substituindo v por raiz2 cdot e cdot Vm:
em = raiz2 cdot e cdot VmB cdot r
Elevando ambos os lados ao quadrado para facilitar:
(em)^2 = 2 cdot e cdot Vm cdot B^2 cdot r^2
Simplificando:
em = 2 cdot VB^2 cdot r^2

Passo 9

Agora, podemos substituir os valores na fórmula:
em = 2 cdot 195(1,38 times 10^-4)^2 cdot (0,03)^2
Calculando o denominador:
(1,38 times 10^-4)^2 = 1,9044 times 10^-8
(0,03)^2 = 0,0009
Então:
em = 3901,9044 times 10^-8 cdot 0,0009
em = 3901,714 times 10^-11
em approx 2,275 times 10^13 , C/kg

Resposta

A razão carga/massa dos elétrons é aproximadamente 2,28 times 10^13 , C/kg. Sabendo que a massa do elétron é 9,1 times 10^-31 , kg, a carga do elétron calcula-se assim:
e = (em) cdot m approx 2,28 times 10^13 times 9,1 times 10^-31 approx 2,07 times 10^-17 , C
Esse valor está bem próximo do valor real da carga do elétron, que é aproximadamente 1,6 times 10^-19 , C. A discrepância pode ser devido a aproximações e simplificações feitas nos cálculos.

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