1. Um voltímetro de CA com alta impedância é ligado sucessivamente aos terminais de um indutor, aos terminais de um capacitor e aos terminais de um resistor em um circuito série ao qual é aplicada uma força eletromotriz alternada de 100 V (rms); nos três casos, o instrumento fornece a mesma leitura em volts. Qual é essa leitura?

Passo 1

O enunciado dá um circuito série composto por um indutor, um capacitor e um resistor alimentados por uma fonte de tensão alternada de 100\\ \text{V (rms)}. Um voltímetro de alta impedância é ligado, sucessivamente, aos terminais de cada um dos três elementos (indutor, capacitor, resistor) e, nos três casos, o instrumento marca o mesmo valor em volts. A pergunta é: qual é esse valor (a leitura do voltímetro)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Tensão da fonte: \;V_{\text{fonte}}=100\\ \text{V (rms)}.
  • Circuito: indutor, capacitor e resistor em série, portanto a corrente é a mesma em todos os elementos.
  • Voltímetro de alta impedância: consome corrente desprezível, logo não altera o circuito quando ligado aos terminais de um elemento.
  • Leitura igual em cada elemento: \;V_R = V_L = V_C, onde V_R, V_L, V_C são as tensões eficazes (rms) nos terminais do resistor, indutor e capacitor, respectivamente.
  • Objetivo: determinar esse valor comum de tensão.

Passo 2

Modelagem e fórmulas básicas (aula rápida, passo a passo).
  • Em um circuito série, a corrente complexa (fasor) I é a mesma em todos os elementos. As quedas de tensão (fasores) são: V_R = I R,
V_L = I X_L = I \omega L,
V_C = I X_C = I\frac{1}{\omega C},
onde \;R é a resistência, \;X_L=\omega L é a reatância indutiva, \;X_C=1/(\omega C) é a reatância capacitiva, e \omega é a pulsação da fonte. Aqui V_R,V_L,V_C são as magnitudes (rms) das tensões nos elementos.
  • A tensãoreal da fonte (fasor) é a soma vetorial (fasorial) das quedas: \mathbf{V}_{\text{fonte}} = \mathbf{V}_R + \mathbf{V}_L + \mathbf{V}_C.Em termos de magnitudes, como V_L e V_C estão defasadas \pm90^\circ em relação a V_R, o módulo da fonte é V_{\text{fonte}} = \sqrt{V_R^{2} + (V_L - V_C)^{2}}.Essa fórmula vem da soma vetorial: V_R ao eixo real e V_L, V_C no eixo imag (um positivo, outro negativo).

Passo 3

Usar a condição dada: as leituras são iguais quando o voltímetro é ligado a cada elemento.
  • Escrever a igualdade dada: V_R = V_L = V_C \equiv V_1.
  • Como V_R = I R, V_L = I X_L, V_C = I X_C, podemos dividir por I (não nulo, senão todas tensões seriam zero e fonte teria zero tensão, o que contraria 100\\ \text{V}) e obter: R = X_L = X_C.Ou seja, a resistência tem o mesmo valor numérico que as reatâncias indutiva e capacitiva.

Passo 4

Interpretação física: o fato de X_L = X_C implica que as partes reativas se anulam (condição de ressonância).
  • Quando X_L = X_C a parte imaginária da impedância total é zero, ou seja: Z_{\text{total}} = R + j(X_L - X_C) = R + j\cdot 0 = R.Portanto o circuito está em ressonância e a impedância total é puramente resistiva e igual a R.

Passo 5

Determinar a corrente e as tensões em função de V_{\text{fonte}}.
  • A corrente rms no circuito é I = \frac{V_{\text{fonte}}}{|Z_{\text{total}}|} = \frac{V_{\text{fonte}}}{R}.
  • A tensão no resistor (rms) é V_R = I R = \frac{V_{\text{fonte}}}{R}\,R = V_{\text{fonte}}.
  • Como impusemos V_R = V_L = V_C = V_1, segue que V_1 = V_R = V_{\text{fonte}}.

Passo 6

Conclusão lógica: a leitura do voltímetro em cada elemento é igual à tensão da fonte.
  • Assim, a leitura comum que o voltímetro fornece quando ligada a qualquer dos três elementos é igual a 100\\ \text{V (rms)}.

Resposta

100\\ \text{V (rms)}

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