- Um voltímetro de CA com alta impedância é ligado sucessivamente aos terminais de um indutor, aos terminais de um capacitor e aos terminais de um resistor em um circuito série ao qual é aplicada uma força eletromotriz alternada de 100 V (rms); nos três casos, o instrumento fornece a mesma leitura em volts. Qual é essa leitura?
Passo 1
O enunciado dá um circuito série composto por um indutor, um capacitor e um resistor alimentados por uma fonte de tensão alternada de
. Um voltímetro de alta impedância é ligado, sucessivamente, aos terminais de cada um dos três elementos (indutor, capacitor, resistor) e, nos três casos, o instrumento marca o mesmo valor em volts. A pergunta é: qual é esse valor (a leitura do voltímetro)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Tensão da fonte:
. - Circuito: indutor, capacitor e resistor em série, portanto a corrente é a mesma em todos os elementos.
- Voltímetro de alta impedância: consome corrente desprezível, logo não altera o circuito quando ligado aos terminais de um elemento.
- Leitura igual em cada elemento:
, onde , , são as tensões eficazes (rms) nos terminais do resistor, indutor e capacitor, respectivamente. - Objetivo: determinar esse valor comum de tensão.
Passo 2
Modelagem e fórmulas básicas (aula rápida, passo a passo).
- Em um circuito série, a corrente complexa (fasor)
é a mesma em todos os elementos. As quedas de tensão (fasores) são:
onde
é a resistência,
é a reatância indutiva,
é a reatância capacitiva, e
é a pulsação da fonte. Aqui
são as magnitudes (rms) das tensões nos elementos.
- A tensãoreal da fonte (fasor) é a soma vetorial (fasorial) das quedas:
Em termos de magnitudes, como e estão defasadas em relação a , o módulo da fonte é Essa fórmula vem da soma vetorial: ao eixo real e , no eixo imag (um positivo, outro negativo).
Passo 3
Usar a condição dada: as leituras são iguais quando o voltímetro é ligado a cada elemento.
- Escrever a igualdade dada:
- Como
, , , podemos dividir por (não nulo, senão todas tensões seriam zero e fonte teria zero tensão, o que contraria ) e obter: Ou seja, a resistência tem o mesmo valor numérico que as reatâncias indutiva e capacitiva.
Passo 4
Interpretação física: o fato de
implica que as partes reativas se anulam (condição de ressonância).
- Quando
a parte imaginária da impedância total é zero, ou seja: Portanto o circuito está em ressonância e a impedância total é puramente resistiva e igual a .
Passo 5
Determinar a corrente e as tensões em função de
.
- A corrente rms no circuito é
- A tensão no resistor (rms) é
- Como impusemos
, segue que
Passo 6
Conclusão lógica: a leitura do voltímetro em cada elemento é igual à tensão da fonte.
- Assim, a leitura comum que o voltímetro fornece quando ligada a qualquer dos três elementos é igual a
.