O volume V de um cone circular reto é dado por
V=\frac{\pi}{24} d^{2} \sqrt{4 s^{2}-d^{2}}
onde s é a altura inclinada e d é o diâmetro da base.
Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a s se d permanecer constante.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do volume de um cone circular reto em função da altura inclinada s e do diâmetro da base d:
V=\frac{\pi}{24} d^{2} \sqrt{4 s^{2}-d^{2}}.
A pergunta é: determinar a taxa de variação instantânea de V em relação a s quando d permanece constante; ou seja, encontrar \dfrac{dV}{ds} tratando d como constante.
Informações importantes fornecidas:
  • V é o volume do cone.
  • s é a altura inclinada (variável com respeito à qual diferenciaremos).
  • d é o diâmetro da base (constante durante a diferenciação).
  • A raiz quadrada é \sqrt{4s^{2}-d^{2}}, que exige 4s^{2}-d^{2}>0 para que a expressão seja real.

Passo 2

Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de maneira simples):
  • Constante multiplicativa: se k é constante e f(s) é função, então \dfrac{d}{ds}\big(k f(s)\big)=k\,f'(s).
  • Regra da cadeia: se h(s)=g(u(s)), então h'(s)=g'(u(s))\cdot u'(s).
  • Derivada da raiz quadrada: para g(u)=\sqrt{u}=u^{1/2} vale g'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}.
  • Derivada de potência simples: \dfrac{d}{ds}s^{2}=2s.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Para facilitar a diferenciação, escrevemos a raiz como potência:
V=\frac{\pi}{24} d^{2} \big(4s^{2}-d^{2}\big)^{1/2}.
Aqui \frac{\pi}{24}d^{2} é uma constante multiplicativa (pois d é constante).

Passo 4

Aplicando a constante multiplicativa e a regra da cadeia, obtemos
\frac{dV}{ds}=\frac{\pi}{24} d^{2}\cdot \frac{d}{ds}\big(4s^{2}-d^{2}\big)^{1/2}.
Agora aplicamos a derivada da potência u^{1/2} com u(s)=4s^{2}-d^{2}:
\frac{d}{ds}\big(4s^{2}-d^{2}\big)^{1/2}=\frac{1}{2\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}\cdot \frac{d}{ds}\big(4s^{2}-d^{2}\big).

Passo 5

Calculamos a derivada do interior u(s)=4s^{2}-d^{2}. Como d^{2} é constante,
\frac{d}{ds}\big(4s^{2}-d^{2}\big)=8s.
Substituindo isso na expressão obtida pelo passo anterior:
\frac{d}{ds}\big(4s^{2}-d^{2}\big)^{1/2}=\frac{8s}{2\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}=\frac{4s}{\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}.

Passo 6

Voltando para \dfrac{dV}{ds} e substituindo o resultado:
\frac{dV}{ds}=\frac{\pi}{24} d^{2}\cdot \frac{4s}{\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}.
Agora simplificamos os fatores constantes: \dfrac{\pi}{24}\cdot 4 = \dfrac{\pi}{6}. Portanto a expressão pode ser escrita de forma mais compacta (a simplificação final será apresentada na resposta).

Passo 7

Interpretação e domínio: a fórmula derivada é válida quando 4s^{2}-d^{2}>0, ou seja, para \,s>\dfrac{d}{2}\, (condição para a raiz). A derivada indica como o volume muda instantaneamente quando aumentamos s mantendo d fixo.

Resposta

\frac{dV}{ds}=\frac{\pi d^{2} s}{6\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}

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