O volume
de um cone circular reto é dado por
onde
é a altura inclinada e
é o diâmetro da base.
Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
em relação a
se
permanecer constante.
Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
Passo 1
O enunciado dá a fórmula do volume de um cone circular reto em função da altura inclinada
e do diâmetro da base
:
A pergunta é: determinar a taxa de variação instantânea de
em relação a
quando
permanece constante; ou seja, encontrar
tratando
como constante.
Informações importantes fornecidas:
-
é o volume do cone. -
é a altura inclinada (variável com respeito à qual diferenciaremos). -
é o diâmetro da base (constante durante a diferenciação). - A raiz quadrada é
, que exige para que a expressão seja real.
Passo 2
Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de maneira simples):
- Constante multiplicativa: se
é constante e é função, então . - Regra da cadeia: se
, então . - Derivada da raiz quadrada: para
vale . - Derivada de potência simples:
.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Para facilitar a diferenciação, escrevemos a raiz como potência:
Aqui
é uma constante multiplicativa (pois
é constante).
Passo 4
Aplicando a constante multiplicativa e a regra da cadeia, obtemos
Agora aplicamos a derivada da potência
com
:
Passo 5
Calculamos a derivada do interior
. Como
é constante,
Substituindo isso na expressão obtida pelo passo anterior:
Passo 6
Voltando para
e substituindo o resultado:
Agora simplificamos os fatores constantes:
. Portanto a expressão pode ser escrita de forma mais compacta (a simplificação final será apresentada na resposta).
Passo 7
Interpretação e domínio: a fórmula derivada é válida quando
, ou seja, para
(condição para a raiz). A derivada indica como o volume muda instantaneamente quando aumentamos
mantendo
fixo.