O volume de um cone circular reto é V=\pi r^{2} h / 3, onde r é o raio da base e h é a altura.
Encontre a taxa de variação do volume em relação à altura se o raio for mantido constante.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do volume de um cone:
V=\frac{\pi r^{2} h}{3},
onde \,r é o raio da base e \,h é a altura. O que se pede é a taxa de variação do volume em relação à altura, isto é, \dfrac{dV}{dh}, quando o raio \,r é mantido constante.
Informações relevantes:
  • A expressão funcional é \,V(h)=\dfrac{\pi r^{2}}{3}\,h.
  • O raio \,r é constante (não varia com \,h).
  • Queremos a derivada de V em relação a h: \dfrac{dV}{dh}.

Passo 2

O que significa calcular \dfrac{dV}{dh}? É a taxa de variação de V por unidade de h: se a altura aumenta de uma pequena quantidade \,dh, o volume aumenta aproximadamente \dfrac{dV}{dh}\,dh. A unidade de \dfrac{dV}{dh} é volume por unidade de comprimento (por exemplo, \text{cm}^3/\text{cm}=\text{cm}^2), portanto tem interpretação geométrica ligada a uma área.

Passo 3

Reescrevendo a fórmula para destacar o que é constante em relação a \,h:
V(h)=\left(\frac{\pi r^{2}}{3}\right)h.
Aqui \dfrac{\pi r^{2}}{3} é uma constante (porque r é constante) e h é a variável.

Passo 4

Vamos lembrar duas regras simples de derivação que usaremos:
  1. Regra do fator constante: se a é constante e f(h) é uma função, então
\frac{d}{dh}\big(a\cdot f(h)\big)=a\cdot \frac{d}{dh}f(h).
Isto significa que podemos “puxar” constantes para fora da derivada.
2. Derivada da função identidade: para f(h)=h,
\frac{d}{dh}h=1.
Intuitivamente, a variável h aumenta uma unidade quando h aumenta uma unidade, então a inclinação é 1.

Passo 5

Aplicando as regras ao nosso caso:
\frac{dV}{dh}=\frac{d}{dh}\left(\frac{\pi r^{2}}{3}\,h\right) =\frac{\pi r^{2}}{3}\cdot\frac{d}{dh}h =\frac{\pi r^{2}}{3}\cdot 1 =\frac{\pi r^{2}}{3}.

Passo 6

Interpretação prática: a taxa de variação do volume em relação à altura é \dfrac{\pi r^{2}}{3}. Isso significa que se a altura aumenta de \,dh, o volume aumenta aproximadamente de \dfrac{\pi r^{2}}{3}\,dh. Observe que a área da base é \pi r^{2}, então a taxa é exatamente um terço da área da base.
Exemplo numérico rápido (para intuição): se r=2 (em centímetros), então
\frac{dV}{dh}=\frac{\pi\cdot 2^{2}}{3}=\frac{4\pi}{3}\approx 4{,}18879\\ \text{cm}^3/\text{cm}.

Resposta

\dfrac{\pi r^{2}}{3}

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