O volume de um cone circular reto é
, onde
é o raio da base e
é a altura.
Encontre a taxa de variação do volume em relação à altura se o raio for mantido constante.
Encontre a taxa de variação do volume em relação à altura se o raio for mantido constante.
Passo 1
O enunciado dá a fórmula do volume de um cone:
onde
é o raio da base e
é a altura. O que se pede é a taxa de variação do volume em relação à altura, isto é,
, quando o raio
é mantido constante.
Informações relevantes:
- A expressão funcional é
. - O raio
é constante (não varia com ). - Queremos a derivada de
em relação a : .
Passo 2
O que significa calcular
? É a taxa de variação de
por unidade de
: se a altura aumenta de uma pequena quantidade
, o volume aumenta aproximadamente
. A unidade de
é volume por unidade de comprimento (por exemplo,
), portanto tem interpretação geométrica ligada a uma área.
Passo 3
Reescrevendo a fórmula para destacar o que é constante em relação a
:
Aqui
é uma constante (porque
é constante) e
é a variável.
Passo 4
Vamos lembrar duas regras simples de derivação que usaremos:
- Regra do fator constante: se
é constante e é uma função, então
Isto significa que podemos “puxar” constantes para fora da derivada.
2. Derivada da função identidade: para ,
2. Derivada da função identidade: para
Intuitivamente, a variável
aumenta uma unidade quando
aumenta uma unidade, então a inclinação é
.
Passo 5
Aplicando as regras ao nosso caso:
Passo 6
Interpretação prática: a taxa de variação do volume em relação à altura é
. Isso significa que se a altura aumenta de
, o volume aumenta aproximadamente de
. Observe que a área da base é
, então a taxa é exatamente um terço da área da base.
Exemplo numérico rápido (para intuição): se
(em centímetros), então