Calcule a carga contida num cubo de aresta 2 m, paralela aos eixos centrados na origem, se a densidade de cargas vale:
\rho=50 x^{2} \cos \left(\frac{\pi}{2} y\right)\left(\mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a carga total Q contida num cubo de aresta 2 m, centrado na origem e com faces paralelas aos eixos. A densidade volumétrica de carga é
\rho(x,y,z)=50\,x^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}y\bigr)\quad(\mu\mathrm C/\mathrm m^{3}).
Para resolver, precisamos montar e avaliar uma integral tripla de \rho sobre o volume do cubo.

Passo 2

Como o cubo tem aresta 2 m centrada na origem, as coordenadas variam
-1\le x\le1,\quad -1\le y\le1,\quad -1\le z\le1.
Assim, a carga total é
Q=\iiint_{\text{cubo}}\rho\,dV =\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-1}^{1}\int_{z=-1}^{1} 50\,x^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}y\bigr)\,dz\,dy\,dx.

Passo 3

A densidade não depende de z, então
\int_{z=-1}^{1}dz=2
e
Q=50\;\bigl(2\bigr)\int_{x=-1}^{1}x^{2}dx\;\int_{y=-1}^{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}y\bigr)dy.

Passo 4

Calcular a integral em x:
\int_{x=-1}^{1}x^{2}dx =2\int_{0}^{1}x^{2}dx =2\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1} =\frac{2}{3}.

Passo 5

Calcular a integral em y. Como \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}y\bigr) é função par,
\int_{y=-1}^{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}y\bigr)dy =2\int_{0}^{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}y\bigr)dy =2\cdot\frac{2}{\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}y\bigr)\Big|_{0}^{1} =2\cdot\frac{2}{\pi}\,(1-0) =\frac{4}{\pi}.

Passo 6

Reunindo tudo:
Q =50\cdot2\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{\pi} =\frac{50\cdot2\cdot2\cdot4}{3\pi} =\frac{800}{3\pi}\quad(\mu\mathrm C).
Numericamente,
Q\approx\frac{800}{3\pi}\approx84{,}9\quad(\mu\mathrm C).

Resposta

Q=\frac{800}{3\pi}\\ \mu\mathrm C\approx84{,}9\\ \mu\mathrm C.

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