Qual é o volume especifico em pés cúbicos por libra-massa (metros cúbicos por quilograma) e em pés cúbicos por slug (metros cúbieos por utm) de uma substância de densidade 0,75?

Passo 1

O enunciado pede o volume específico (recíproco da densidade) de uma substância cuja densidade é dada como 0{,}75. Vou interpretar a densidade como sendo \rho=0{,}75\\ \text{g/cm}^3 (interpretação padrão para valores desse tipo, por exemplo gasolina tem \sim0{,}74\\ \text{g/cm}^3). Informações relevantes que vou usar:
  • Densidade fornecida: \rho=0{,}75\\ \text{g/cm}^3.
  • Vou calcular o volume específico nas unidades pedidas:
    • pés cúbicos por libra-massa ( \text{ft}^3/\text{lbm}) e metros cúbicos por quilograma ( \text{m}^3/\text{kg});
    • pés cúbicos por slug ( \text{ft}^3/\text{slug}) e metros cúbicos por utm ( \text{m}^3/\text{utm}); aqui interpreto \text{utm} como a mesma unidade de massa que o \text{slug} em SI (ou seja, quero também \text{m}^3/\text{slug}).
  • Constantes de conversão que vou usar (valores padrão):
    • 1\\ \text{g/cm}^3 = 1000\\ \text{kg/m}^3.
    • 1\\ \text{m}^3 = 35{,}314666721\\ \text{ft}^3.
    • 1\\ \text{kg} = 2{,}20462262185\\ \text{lbm}.
    • 1\\ \text{slug} = 14{,}5939029372\\ \text{kg} (equivalente a 32{,}1740485564\\ \text{lbm}).

Passo 2

Conceito: o volume específico v é o recíproco da densidade \rho. Em fórmula:
v=\frac{1}{\rho}.
Aqui \rho deve estar na mesma forma de unidade do denominador do v que queremos (por exemplo, para obter v em \text{m}^3/\text{kg} usamos \rho em \text{kg/m}^3). Explicando devagar: se a cada 1\\ \text{kg} \rho metros cúbicos por unidade de volume invertida, então o volume por massa é 1/\rho.

Passo 3

Converter a densidade dada para o sistema SI (kg/m^3). Como a densidade foi assumida \rho=0{,}75\\ \text{g/cm}^3,
\rho = 0{,}75\\ \text{g/cm}^3 = 0{,}75\times1000\\ \text{kg/m}^3 = 750\\ \text{kg/m}^3.
Observação: isto é só multiplicar por 1000 porque 1\\ \text{g/cm}^3 = 1000\\ \text{kg/m}^3.

Passo 4

Calcular o volume específico em \text{m}^3/\text{kg}:
v_{\text{m}^3/\text{kg}}=\frac{1}{\rho}=\frac{1}{750\\ \text{kg/m}^3}=0{,}001333333\\ \text{m}^3/\text{kg}.
\dfrac{1}{750}=0{,}001333\ldots; normalmente arredondamos conforme necessidade de sig figs).

Passo 5

Converter v para \text{ft}^3/\text{lbm}. Uma maneira direta é usar a relação
1\\ \frac{\text{m}^3}{\text{kg}} = \frac{35{,}314666721\\ \text{ft}^3}{2{,}20462262185\\ \text{lbm}} = 16{,}0184633739\\ \frac{\text{ft}^3}{\text{lbm}}.
Logo
v_{\text{ft}^3/\text{lbm}} = v_{\text{m}^3/\text{kg}}\times16{,}0184633739.
Substituindo o valor de v_{\text{m}^3/\text{kg}}:
v_{\text{ft}^3/\text{lbm}} = 0{,}001333333\cdot16{,}0184633739 \approx 0{,}021357951\\ \text{ft}^3/\text{lbm}.

Passo 6

Agora calcular o volume específico por \text{slug}. Primeiro em \text{m}^3/\text{slug}: multiplicamos v_{\text{m}^3/\text{kg}} pelo número de quilogramas por slug:
v_{\text{m}^3/\text{slug}} = v_{\text{m}^3/\text{kg}}\times(14{,}5939029372\\ \text{kg/slug}).
Substituindo:
v_{\text{m}^3/\text{slug}} = 0{,}001333333\cdot14{,}5939029372 \approx 0{,}019458537\\ \text{m}^3/\text{slug}.
Agora convertemos esse valor para \text{ft}^3/\text{slug} usando 1\\ \text{m}^3 = 35{,}314666721\\ \text{ft}^3:
v_{\text{ft}^3/\text{slug}} = v_{\text{m}^3/\text{slug}}\times35{,}314666721 \approx 0{,}019458537\cdot35{,}314666721 \approx 0{,}687171852\\ \text{ft}^3/\text{slug}.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio (pra não se perder na prova):
  • Passo lógico: converter densidade para \text{kg/m}^3, calcular v=1/\rho em \text{m}^3/\text{kg}.
  • Para passar para \text{ft}^3/\text{lbm}, usar fator combinado 1\\ \text{m}^3/\text{kg}=16{,}0184633739\\ \text{ft}^3/\text{lbm}.
  • Para \text{m}^3/\text{slug} multiplicar por 14{,}5939029372\\ \text{kg/slug}; para \text{ft}^3/\text{slug} multiplicar por 35{,}314666721 também.

Resposta

\,v = 0{,}021357951\\ \text{ft}^3/\text{lbm} = 0{,}001333333\\ \text{m}^3/\text{kg}
\,v = 0{,}687171852\\ \text{ft}^3/\text{slug} = 0{,}019458537\\ \text{m}^3/\text{slug}

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