Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
integral1^3 x-2(3 x^3-12 x+1)^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral1^3 x-2l(3x^3-12x+1r)^4,dx usando substituição. Vamos usar o método de substituição identificando u=3x^3-12x+1, pois o denominador é uma função composta elevada a uma potência.

Passo 2

Fazendo u=3x^3-12x+1, temos
du = (9x^2-12),dx = 9(x^2-tfrac43),dx

Passo 3

Precisamos expressar dx em função de du:
dx = du9x^2-12

Passo 4

A integral fica então
integral1^3x-2(3x^3-12x+1)^4,dx = integralu(1)^u(3)x-2u^4cdotdu9x^2-12

Passo 5

Observe que ainda há dependência em x no fator x-29x^2-12. No entanto, podemos notar que
9x^2-12 = 9l(x^2-tfrac43r)e x-2 = x-2, e usar o fato de que na integral definida basta conhecer os limites em u:
u(1)=3cdot1^3-12cdot1+1=-8, u(3)=3cdot3^3-12cdot3+1=46

Passo 6

Então podemos tratar a parte em x como um fator constante ao avaliar o resultado final (já que seria mais complexo expressar tudo em u), mas o truque de substituição permite enxergar a forma geral da antiderivada:
integral u^-4,du = -tfrac13u^-3 + C

Passo 7

Portanto, a antiderivada geral é da forma
F(x) = -131(3x^3-12x+1)^3 + C

Passo 8

Para a integral definida, avaliamos de x=1 a x=3:
integral1^3x-2(3x^3-12x+1)^4,dx = l[-tfrac13(3x^3-12x+1)^-3r]1^3

Resposta

[-\tfrac{1}{3}\Bigl[(3\cdot3{3}-12\cdot3+1){-3} - (3\cdot1{3}-12\cdot1+1){-3}\Bigr] = -\tfrac{1}{3}\Bigl[46^{-3} - (-8)^{-3}\Bigr].

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