Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
usando substituição. Vamos usar o método de substituição identificando
, pois o denominador é uma função composta elevada a uma potência.
Passo 2
Fazendo
, temos
Passo 3
Precisamos expressar
em função de
:
Passo 4
A integral fica então
Passo 5
Observe que ainda há dependência em
no fator
. No entanto, podemos notar que
Passo 6
Então podemos tratar a parte em
como um fator constante ao avaliar o resultado final (já que seria mais complexo expressar tudo em
), mas o truque de substituição permite enxergar a forma geral da antiderivada:
Passo 7
Portanto, a antiderivada geral é da forma
Passo 8
Para a integral definida, avaliamos de
a
:
Resposta
[-\tfrac{1}{3}\Bigl[(3\cdot3{3}-12\cdot3+1){-3} - (3\cdot1{3}-12\cdot1+1){-3}\Bigr] = -\tfrac{1}{3}\Bigl[46^{-3} - (-8)^{-3}\Bigr].