A adsorção de \mathrm{N}_{2} em carvão ativo ocorre na proporção de 0,921 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{g} a 490 kPa e 190 K , porém, para se alcançar a mesma proporção a 250 K , deve-se aumentar a pressão para 3,2 \mathrm{MPa}. Determine a entalpia de adsorção de nitrogênio em carvão ativo.
8) Os dados abaixo são para a adsorção química de hidrogênio em pó de cobre a 25^{\circ} \mathrm{C}. Admitindo o modelo de Langmuir, calcule o valor da constante de equilíbrio e o valor do volume de recobrimento máximo.
\mathrm{P}(\mathrm{kPa}) 25 129 253 540 1000 1593
\mathrm{~V}\left(\mathrm{~cm}^{3}\right) 0,042 0,163 0,221 0,321 0,411 0,471

Passo 1

O exercício tem duas partes distintas. Dados e pedidos:
  • Parte A (adsorção de \mathrm{N}_2): foi dada a mesma quantidade adsorvida \,0,921\\ \mathrm{cm^3/g} em duas condições: \;p_1=490\\ \mathrm{kPa},\;T_1=190\\ \mathrm{K} e \;p_2=3{,}2\\ \mathrm{MPa}=3200\\ \mathrm{kPa},\;T_2=250\\ \mathrm{K}. Pede-se a entalpia de adsorção do nitrogênio.
  • Parte B (adsorção de \mathrm{H}_2 - Langmuir): tabela com pressões e volumes adsorvidos (em \mathrm{kPa} e \mathrm{cm^3}). Pede-se a constante de equilíbrio K (no modelo de Langmuir) e o volume de recobrimento máximo V_m.
    As informações relevantes já estão acima; vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Teoria e fórmula útil para a Parte A (entalpia isostérica de adsorção).
Quando a mesma quantidade adsorbida é mantida (isóstere), a relação análoga a Clausius–Clapeyron dá:
\frac{d\ln p}{d(1/T)} = -\frac{\Delta H_{ads}}{R},
onde \Delta H_{ads} é a entalpia de adsorção (energia associada à transferência de 1 mol do gás para a superfície; pela convenção química a adsorção é exotérmica e o valor final costuma ser negativo) e R é a constante dos gases ideais. Integrando entre dois pontos (mesma cobertura) obtemos a forma prática:
\Delta H_{ads} = -R\,\frac{\ln\!\left(\dfrac{p_2}{p_1}\right)}{\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}}.
Expliquei: \;p_1,p_2 são pressões de equilíbrio nas temperaturas \;T_1,T_2 para a mesma cobertura; R=8,314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.

Passo 3

Aplicando a fórmula (Parte A), calculamos passo a passo. Primeiro a razão das pressões e seu logaritmo natural:
\frac{p_2}{p_1}=\frac{3200}{490}=6{,}530612245, \qquad \ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)=1{,}8759\\ (\text{aprox.}).
Agora o denominador:
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}=\frac{1}{250}-\frac{1}{190}=0{,}004-0{,}0052631579=-0{,}0012631579\\ \mathrm{K^{-1}}.
Finalmente:
\Delta H_{ads} = -8{,}314\cdot\frac{1{,}8759}{-0{,}0012631579} = -\frac{15{,}599\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}}{-0{,}0012631579} \approx 12352\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Interprete: o cálculo deu +12352\\ \mathrm{J\;mol^{-1}} pela fórmula algebraica; como a adsorção é exotérmica (libera calor) convencionamos a entalpia de adsorção com sinal negativo. Portanto o valor físico é
\Delta H_{ads}\approx -12{,}35\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.
Dica amigável: esse sinal negativo indica que, para manter a mesma cobertura ao aumentar a temperatura, é preciso uma pressão maior — exatamente o que os dados mostraram.

Passo 4

Teoria e método para a Parte B (modelo de Langmuir).
O modelo de Langmuir para volume adsorvido V (a uma dada temperatura) é:
V = V_m\cdot\frac{Kp}{1+Kp},
onde V_m é o volume monolayer máximo (recobrimento máximo) e K é a constante de equilíbrio (unidade: \mathrm{kPa^{-1}} se p está em \mathrm{kPa}). Reescrevemos em forma linear para estimar V_m e K:
\frac{1}{V} = \frac{1}{V_m} + \frac{1}{V_m K}\cdot\frac{1}{p}.
Assim, fazendo uma regressão linear de y=\dfrac{1}{V} versus x=\dfrac{1}{p}, obtemos intercepto a=\dfrac{1}{V_m} e coeficiente angular b=\dfrac{1}{V_m K}. Daí V_m=1/a e K=1/(V_m b).

Passo 5

Construímos a tabela transformada e calculamos as somas necessárias (uso direto dos dados fornecidos):
Dados originais (do enunciado):
\;p (kPa): 25,\;129,\;253,\;540,\;1000,\;1593.
\;V (cm^3): 0{,}042,\;0{,}163,\;0{,}221,\;0{,}321,\;0{,}411,\;0{,}471.
Calculamos x=\dfrac{1}{p} (em \mathrm{kPa^{-1}}) e y=\dfrac{1}{V} (em \mathrm{cm^{-3}}):
\begin{array}{c|c|c} p\\ (\mathrm{kPa}) & x=\dfrac{1}{p}\\ (\mathrm{kPa^{-1}}) & y=\dfrac{1}{V}\\ (\mathrm{cm^{-3}})\\hline 25 & 0{,}0400000000 & 23{,}80952381\\\\ 129 & 0{,}00775193798 & 6{,}134969325\\\\ 253 & 0{,}00395256917 & 4{,}524886878\\\\ 540 & 0{,}00185185185 & 3{,}115263158\\\\ 1000 & 0{,}00100000000 & 2{,}432432432\\\\ 1593 & 0{,}00062721916 & 2{,}123893805 \end{array}
Somas (para regressão):
\begin{aligned} n&=6,\\\ \sum x &\approx 0{,}05518357816,\\\ \sum y &\approx 42{,}14096941,\\\ \sum x^2 &\approx 0{,}001680531,\\\ \sum xy &\approx 1{,}027329. \end{aligned}

Passo 6

Cálculo dos coeficientes da regressão linear y=a + b x (fórmulas de mínimos quadrados):
b=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2-(\sum x)^2},\qquad a=\frac{\sum y - b\sum x}{n}.
Substituindo os números:
\begin{aligned} b &\approx \frac{6\cdot 1{,}027329 - 0{,}05518357816\cdot 42{,}14096941}{6\cdot 0{,}001680531 - (0{,}05518357816)^2} \\\ &\approx \frac{6{,}163974 - 2{,}325484}{0{,}010083186 - 0{,}003044} \\\ &\approx \frac{3{,}838490}{0{,}007039187} \approx 545{,}13\\ (\mathrm{kPa\;cm^{-3}}). \end{aligned}
\begin{aligned} a &\approx \frac{42{,}14096941 - 545{,}13\cdot 0{,}05518357816}{6} \\\ &\approx \frac{42{,}14096941 - 30{,}084621}{6} \\\ &\approx \frac{12{,}0563484}{6} \approx 2{,}00939\\ (\mathrm{cm^{-3}}). \end{aligned}

Passo 7

Recuperando V_m e K a partir de a e b:
\frac{1}{V_m}=a\quad\Rightarrow\quad V_m=\frac{1}{a} \quad\Rightarrow\quad V_m\approx\frac{1}{2{,}00939}=0{,}49766\\ \mathrm{cm^3}.
\frac{1}{V_m K}=b\quad\Rightarrow\quad K=\frac{1}{V_m b} \quad\Rightarrow\quad K\approx\frac{1}{0{,}49766\cdot 545{,}13}=0{,}003688\\ \mathrm{kPa^{-1}}.
Arredondando com significado prático: V_m\approx 0{,}498\\ \mathrm{cm^3} e K\approx 3{,}69\times 10^{-3}\\ \mathrm{kPa^{-1}}.
Rápida interpretação: V_m é o volume máximo adsorvível (monocamada) nas unidades dadas; K indica afinidade (quanto maior K, mais facilmente a superfície se recobre a baixas pressões).

Resposta

\Delta H_{ads} \approx -12{,}35\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}\n
K \approx 0{,}00369\\ \mathrm{kPa^{-1}}\n
V_m \approx 0{,}498\\ \mathrm{cm^{3}}

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