Volume por polar: entre z=9-\left(x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2\right) e z=0. Calcule V usando coordenadas polares e confirme com fórmula de volume do sólido de revolução.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado abaixo por z=0 e acima pela superfície paraboloide
z = 9 - \bigl(x^2 + y^2\bigr).
Vamos calcular esse volume de duas formas:
  1. por integração dupla em coordenadas polares;
  2. pelo método de sólidos de revolução (seções circulares).

Passo 2

Em coordenadas polares, fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta,
a região no plano xy é 0 \le r \le 3, 0 \le \theta \le 2\pi, e em cada ponto z varia de 0 até 9 - r^2. Assim
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3} (9 - r^2)\,r\,dr\,d\theta.
Primeiro a integral em r:
\int_{0}^{3}(9r - r^3)\,dr = \Bigl[\tfrac{9\,r^2}{2} - \tfrac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{3} = \tfrac{81}{2} - \tfrac{81}{4} = \tfrac{81}{4}.
Logo
V = \int_{0}^{2\pi} \tfrac{81}{4}\,d\theta = \tfrac{81}{4}\cdot 2\pi = \tfrac{81\pi}{2}.

Passo 3

Pelo método de sólidos de revolução, observe que a seção transversal a uma altura z é um círculo de raio
r(z)=\sqrt{9-z},
logo sua área é A(z)=\pi\,(9-z). Integrando de z=0 até z=9:
V = \int_{0}^{9} A(z)\,dz = \int_{0}^{9} \pi\,(9-z)\,dz = \pi\Bigl[9z - \tfrac{z^2}{2}\Bigr]_{0}^{9} = \pi\,(81 - \tfrac{81}{2}) = \tfrac{81\pi}{2}.
Isso confirma o resultado obtido por coordenadas polares.

Resposta

V = \frac{81\pi}{2}.

Exercícios relacionados