Volume por polar: entre
e
. Calcule
usando coordenadas polares e confirme com fórmula de volume do sólido de revolução.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado abaixo por
e acima pela superfície paraboloide
Vamos calcular esse volume de duas formas:
- por integração dupla em coordenadas polares;
- pelo método de sólidos de revolução (seções circulares).
Passo 2
Em coordenadas polares, fazemos
a região no plano
é
,
, e em cada ponto
varia de
até
. Assim
Primeiro a integral em
:
Logo
Passo 3
Pelo método de sólidos de revolução, observe que a seção transversal a uma altura
é um círculo de raio
logo sua área é
. Integrando de
até
:
Isso confirma o resultado obtido por coordenadas polares.