Questão 1: Calcule os limites a seguir:
(10Pts) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(x-1)-\operatorname{tg}(x-1)}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\frac{\operatorname{sen}(x-1)-\operatorname{tg}(x-1)}{x^{2}-1}.
Estamos diante de uma forma indeterminada 0/0 ao avaliar diretamente em x=1. Para resolver, vamos usar expansão em série de Taylor em torno de zero.

Passo 2

Primeiro, confirmamos a indeterminação e simplificamos a notação com a substituição
t = x-1,
de modo que x\to1 equivale a t\to0. O limite vira
\lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen} t-\operatorname{tg} t}{(t+1)^{2}-1}.

Passo 3

Expandimos o denominador em função de t:
(t+1)^{2}-1 = t^{2}+2t = t\,(2+t).

Passo 4

Agora usamos as séries de Taylor até a ordem t^{3}:
\operatorname{sen} t = t - \frac{t^{3}}{6} + o(t^{3}), \quad \operatorname{tg} t = t + \frac{t^{3}}{3} + o(t^{3}).
Subtraindo,
\operatorname{sen} t - \operatorname{tg} t = \Bigl(t - \tfrac{t^{3}}{6}\Bigr) - \Bigl(t + \tfrac{t^{3}}{3}\Bigr) + o(t^{3}) = -\frac{t^{3}}{2} + o(t^{3}).

Passo 5

Formamos a razão usando as expansões:
\frac{\operatorname{sen} t - \operatorname{tg} t}{t\,(2+t)} = \frac{-\tfrac{t^{3}}{2} + o(t^{3})}{t\,(2+t)} = -\frac{t^{2}}{2(2+t)} + o(t^{2}).
À medida que t\to0, esse quociente tende a
-\frac{0^{2}}{2\cdot2}=0.

Resposta

0

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