Qual o volume do prisma triangular (A B C D), onde A(-36,-12,-60), B(12,36,0), C(5,0,4) e D(0,5,4) ?
29640

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos quatro pontos
A(-36,-12,-60),\quad B(12,36,0),\quad C(5,0,4),\quad D(0,5,4)
que definem uma pirâmide triangular (tetraedro) ABCD. Para achar o volume usamos a fórmula do produto misto:
V = \frac{1}{6}\bigl|\,(B-A)\cdot\bigl[(C-A)\times(D-A)\bigr]\bigr|.

Passo 2

Calculamos os vetores de aresta saindo de A:
\overrightarrow{AB} = B - A = (12+36,\;36+12,\;0+60) = (48,\,48,\,60),
\overrightarrow{AC} = C - A = (5+36,\;0+12,\;4+60) = (41,\,12,\,64),
\overrightarrow{AD} = D - A = (0+36,\;5+12,\;4+60) = (36,\,17,\,64).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}:
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 41 & 12 & 64\\\\ 36 & 17 & 64 \end{vmatrix} = \bigl(12\cdot64 - 64\cdot17,\;-\,\bigl(41\cdot64 - 64\cdot36\bigr),\;41\cdot17 - 12\cdot36\bigr)
= (-320,\,-320,\;265).

Passo 4

Agora o produto escalar \overrightarrow{AB}\cdot\bigl[(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})\bigr]:
(48,48,60)\cdot(-320,-320,265) =48\cdot(-320)+48\cdot(-320)+60\cdot265 =-15360-15360+15900 =-14820.
O valor absoluto é \;|\,-14820\,|=14820.

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula do volume:
V = \frac{1}{6}\times14820 = 2470.

Resposta

2470

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